Determine
e determine os números nos quais
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a composição de funções
e encontrar os números onde essa composição é contínua. Vamos precisar entender sobre composição de funções e continuidade de funções. A composição de funções é basicamente aplicar uma função dentro da outra, ou seja, usar o resultado de uma função como entrada para a outra. Já a continuidade nos diz onde a função não tem “saltos” ou “brasas”, ou seja, onde ela é “suave” sem interrupções.
Passo 2
Vamos começar com o primeiro par de funções:
Caso 1:
Primeiro, vamos encontrar
:
Agora, para que
esteja definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Então,
está definida e é contínua para todo
no intervalo
.
Passo 3
Caso 2:
Vamos novamente compor as funções:
Para que a expressão esteja definida:
Portanto,
é contínua para
nos intervalos
e
.
Passo 4
Caso 3:
Vamos compor as funções:
Para que a expressão esteja definida:
- O denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz do denominador deve ser positiva:
- O numerador deve ser definido:
Então, juntando as condições:
Portanto,
está definida e é contínua para
nos intervalos
e
.
Passo 5
Caso 4:
Vamos compor as funções:
Para que a expressão esteja definida:
- O denominador
não pode ser zero:
- A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Vamos analisar os sinais:
- Quando
e são ambos positivos:
Mas
, então
- Quando
e são ambos negativos:
Portanto,
está definida e é contínua para
nos intervalos
e
.
Resposta
Composição e continuidade de
para cada caso:
-
Caso 1:
-
Caso 2:
-
Caso 3:
-
Caso 4:
Exercícios relacionados
Nos Exercícios de 19 a 48, ache o limite, se existir.
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Resolva o sistema:
Roberto disse a Valéria