Determine e determine os números nos quais é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a composição de funções e encontrar os números onde essa composição é contínua. Vamos precisar entender sobre composição de funções e continuidade de funções. A composição de funções é basicamente aplicar uma função dentro da outra, ou seja, usar o resultado de uma função como entrada para a outra. Já a continuidade nos diz onde a função não tem “saltos” ou “brasas”, ou seja, onde ela é “suave” sem interrupções.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro par de funções:
Caso 1:
Primeiro, vamos encontrar :
Agora, para que esteja definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Então, está definida e é contínua para todo no intervalo .

Passo 3

Caso 2:
Vamos novamente compor as funções:
Para que a expressão esteja definida:
Portanto, é contínua para nos intervalos e .

Passo 4

Caso 3:
Vamos compor as funções:
Para que a expressão esteja definida:
  1. O denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz do denominador deve ser positiva:
  1. O numerador deve ser definido:
Então, juntando as condições:
Portanto, está definida e é contínua para nos intervalos e .

Passo 5

Caso 4:
Vamos compor as funções:
Para que a expressão esteja definida:
  1. O denominador não pode ser zero:
  1. A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Vamos analisar os sinais:
  • Quando e são ambos positivos:
Mas , então
  • Quando e são ambos negativos:
Portanto, está definida e é contínua para nos intervalos e .

Resposta

Composição e continuidade de para cada caso:
  1. Caso 1:
    í
  2. Caso 2:
    í
  3. Caso 3:
    í
  4. Caso 4:
    í

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Resolva o sistema:
Roberto disse a Valéria