Determine f(g(x)) e determine os números nos quais f(g(x)) é contínua.
& f(x)=raizx ; g(x)=25-x^2 & f(x)=raizx ; g(x)=x^2-25 & f(x)=raizx^2-4raiz3-x ; g(x)=|x| & f(x)=raizx+1 ; g(x)=1x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para determinar a composição de funções e encontrar os números onde essa composição é contínua. Vamos precisar entender sobre composição de funções e continuidade de funções. A composição de funções é basicamente aplicar uma função dentro da outra, ou seja, usar o resultado de uma função como entrada para a outra. Já a continuidade nos diz onde a função não tem “saltos” ou “brasas”, ou seja, onde ela é “suave” sem interrupções.

Passo 2

Vamos começar com o primeiro par de funções:
Caso 1:
f(x) = raizx ; g(x) = 25 - x^2
Primeiro, vamos encontrar f(g(x)) = f(25 - x^2) = raiz25 - x^2 :
25 - x^2 >= 0 implies x^2 <= 25 implies -5 <= x <= 5
Agora, para que esteja definida, o que está dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero:
Então, está definida e é contínua para todo no intervalo .

Passo 3

Caso 2:
f(x) = raizx ; g(x) = x^2 - 25
Vamos novamente compor as funções:
f(g(x)) = f(x^2 - 25) = raizx^2 - 25
Para que a expressão esteja definida:
x^2 - 25 >= 0 implies x^2 >= 25 implies x <= -5 ou x >= 5
Portanto, é contínua para nos intervalos e .

Passo 4

Caso 3:
f(x) = raizx^2 - 4raiz3 - x ; g(x) = |x|
Vamos compor as funções:
f(g(x)) = raiz(|x|)^2 - 4raiz3 - |x| = raizx^2 - 4raiz3 - |x|
Para que a expressão esteja definida:
  1. O denominador não pode ser zero e a expressão dentro da raiz do denominador deve ser positiva:
3 - |x| > 0 implies |x| < 3 implies -3 < x < 3
  1. O numerador deve ser definido:
x^2 - 4 >= 0 implies x^2 >= 4 implies x <= -2 ou x >= 2
Então, juntando as condições:
-3 < x < 3 e (x <= -2 ou x >= 2)
Portanto, está definida e é contínua para nos intervalos e .

Passo 5

Caso 4:
f(x) = raizx + 1 ; g(x) = 1x - 3
Vamos compor as funções:
f(g(x)) = raiz1x - 3 + 1 = raiz1 + (x - 3)x - 3 = raizx - 2x - 3
Para que a expressão esteja definida:
  1. O denominador x - 3 neq 0 implies x neq 3 não pode ser zero:
x - 2x - 3 >= 0
  1. A expressão dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
x - 2 >= 0 e x - 3 > 0 implies x >= 3
Vamos analisar os sinais:
  • Quando x - 2 <= 0 e x - 3 < 0 implies x <= 2 e são ambos positivos:
Mas , então
  • Quando e são ambos negativos:
Portanto, está definida e é contínua para nos intervalos e .

Resposta

Composição e continuidade de f(g(x)) = raiz25 - x^2 contínua para x in [-5, 5] para cada caso:
  1. Caso 1:
    f(g(x)) = raizx^2 - 25 contínua para x in (-infty, -5] cup [5, infty) í
  2. Caso 2:
    f(g(x)) = raizx^2 - 4raiz3 - |x| contínua para x in (-3, -2] cup [2, 3) í
  3. Caso 3:
    f(g(x)) = raizx - 2x - 3 contínua para x in (-infty, 2] cup (3, infty) í
  4. Caso 4:
    í

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