Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo: r(t) = cos(t) * i + sen(t) * j + t * k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a curva parametrizada por . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normalização. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial vec(r)(t). A derivada de vec(r)(t) em relação a t, que chamamos de , nos dá a velocidade da curva naquele ponto. Para derivar, derivamos cada componente separadamente:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar esse vetor derivada para obter o vetor tangente unitário vec(T)(t). Normalizar significa dividir o vetor pela sua magnitude, ou seja, fazer com que ele tenha comprimento igual a 1. Primeiro, vamos calcular a magnitude de :
Sabemos que , então:
Agora, o vetor tangente unitário é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário vec(N)(t). Para isso, precisamos calcular a derivada do vetor tangente e depois normalizá-la. Primeiro, vamos derivar vec(T)(t):
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a magnitude de :

Passo 6

Finalmente, vamos normalizar para encontrar o vetor normal unitário vec(N)(t):

Resposta

O vetor tangente unitário é:
E o vetor normal unitário é:

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