Determine vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para as curvas parametrizadas abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário para a curva parametrizada por
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e normalização. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada de
em relação a
, que chamamos de
, nos dá a velocidade da curva naquele ponto. Para derivar, derivamos cada componente separadamente:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos normalizar esse vetor derivada para obter o vetor tangente unitário
. Normalizar significa dividir o vetor pela sua magnitude, ou seja, fazer com que ele tenha comprimento igual a 1. Primeiro, vamos calcular a magnitude de
:
Sabemos que
, então:
Agora, o vetor tangente unitário é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal unitário
. Para isso, precisamos calcular a derivada do vetor tangente
e depois normalizá-la. Primeiro, vamos derivar
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a magnitude de
:
Passo 6
Finalmente, vamos normalizar
para encontrar o vetor normal unitário
:
Resposta
O vetor tangente unitário é:
E o vetor normal unitário é:
Exercícios relacionados
Seja
dada por:
Encontre os intervalos para os quais a função é crescente ou decrescente.
Verifique se a função
é solução da equação diferencial ordinária
.
Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO
Determine em quais números a seguinte função
é diferenciável e em quais não.