Determine se o operador X é Hermitiano. E quanto a i X? Se não for, explique.

Passo 1

Beleza, vamos nessa! O enunciado pede pra gente descobrir se o operador é Hermitiano e, além disso, se o operador também é Hermitiano. Pra isso, vamos usar os conceitos de operadores Hermitianos e suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um operador Hermitiano. Um operador X^dag>=r = X é Hermitiano se ele for igual ao seu adjunto, ou seja:
O adjunto basicamente troca as linhas e colunas da matriz do operador e também complexa os números complexos.

Passo 3

Agora, vamos verificar se X^dag>=r = X é Hermitiano. Precisamos ver se:
Se isso for verdade, então é Hermitiano. Se não for, não é Hermitiano.

Passo 4

Em seguida, vamos analisar o operador (iX)^dag>=r = i^* X^dag>=r . Para saber se (iX)^dag>=r = -i X^dag>=r é Hermitiano, aplicamos a mesma definição:
(iX)^dag>=r = -i X
Como -i X = i X é o número imaginário, seu conjugado é . Então:
Se for Hermitiano ( ), isso fica:
Para ser Hermitiano, precisaríamos que:
O que só é possível se , mas geralmente não é zero.

Passo 5

Então, concluímos que se for Hermitiano, não será Hermitiano, a menos que seja o operador nulo.

Resposta

O operador é Hermitiano se . Já o operador não é Hermitiano, pois seu adjunto é , que não é igual a .

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