Suponha que uma partícula de massa
em uma caixa unidimensional seja descrita pela função de onda
encontre a corrente de probabilidade para esta função de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a corrente de probabilidade para uma partícula de massa
que está numa caixa unidimensional. A função de onda que descreve essa partícula é uma combinação de duas funções senoidais, ou seja, está numa superposição de estados com energias
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a definição da corrente de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão geral para a corrente de probabilidade
em mecânica quântica. Ela é dada por:
Aqui,
é o complexo conjugado da função de onda
,
é a constante de Planck reduzida, e
é a massa da partícula.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculamos
:
E similar para
:
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão dentro dos parênteses da corrente de probabilidade:
Isso envolve multiplicar as funções de onda e suas derivadas conjugadas e subtrair a expressão inversa.
Passo 5
Realizando as multiplicações, notamos que haverá termos que se cancelam devido à subtração, especialmente aqueles que possuem as mesmas frequências temporais. O que resta são termos que envolvem a diferença entre
e
, levando a uma expressão que depende do tempo.
Passo 6
Após simplificar as expressões, a corrente de probabilidade fica dada por:
Resposta
A corrente de probabilidade para a função de onda dada é: