Suponha que uma partícula de massa em uma caixa unidimensional seja descrita pela função de onda
encontre a corrente de probabilidade para esta função de onda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a corrente de probabilidade para uma partícula de massa que está numa caixa unidimensional. A função de onda que descreve essa partícula é uma combinação de duas funções senoidais, ou seja, está numa superposição de estados com energias e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a definição da corrente de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão geral para a corrente de probabilidade em mecânica quântica. Ela é dada por:
Aqui, é o complexo conjugado da função de onda , é a constante de Planck reduzida, e é a massa da partícula.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculamos :
E similar para :
Passo 4
Agora, vamos montar a expressão dentro dos parênteses da corrente de probabilidade:
Isso envolve multiplicar as funções de onda e suas derivadas conjugadas e subtrair a expressão inversa.
Passo 5
Realizando as multiplicações, notamos que haverá termos que se cancelam devido à subtração, especialmente aqueles que possuem as mesmas frequências temporais. O que resta são termos que envolvem a diferença entre e , levando a uma expressão que depende do tempo.
Passo 6
Após simplificar as expressões, a corrente de probabilidade fica dada por:
Resposta
A corrente de probabilidade para a função de onda dada é: