Suponha que uma partícula de massa m em uma caixa unidimensional seja descrita pela função de onda
Psi(x, t)=raiz1a sin (pi xa) e^-i E1 t / hbar+raiz1a sin (2 pi xa) e^-i E2 t / hbar
encontre a corrente de probabilidade para esta função de onda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar a corrente de probabilidade para uma partícula de massa que está numa caixa unidimensional. A função de onda que descreve essa partícula é uma combinação de duas funções senoidais, ou seja, está numa superposição de estados com energias e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente a definição da corrente de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão geral para a corrente de probabilidade J(x, t) = hbar2mi ( Psi^* partial Psipartial x - Psi partial Psi^*partial x ) em mecânica quântica. Ela é dada por:
Aqui, é o complexo conjugado da função de onda , é a constante de Planck reduzida, e é a massa da partícula.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias. Primeiro, calculamos partial Psipartial x = raiz1a cdot pia cos(pi xa) e^-i E1 t / hbar + raiz1a cdot 2pia cos(2pi xa) e^-i E2 t / hbar :
partial Psi^*partial x = raiz1a cdot pia cos(pi xa) e^i E1 t / hbar + raiz1a cdot 2pia cos(2pi xa) e^i E2 t / hbar
E similar para :

Passo 4

Agora, vamos montar a expressão dentro dos parênteses da corrente de probabilidade:
Psi^* partial Psipartial x - Psi partial Psi^*partial x
Isso envolve multiplicar as funções de onda e suas derivadas conjugadas e subtrair a expressão inversa.

Passo 5

Realizando as multiplicações, notamos que haverá termos que se cancelam devido à subtração, especialmente aqueles que possuem as mesmas frequências temporais. O que resta são termos que envolvem a diferença entre e , levando a uma expressão que depende do tempo.

Passo 6

Após simplificar as expressões, a corrente de probabilidade fica dada por:
J(x, t) = hbarm a [ sin(3pi xa) sin((E2 - E1) thbar) ]

Resposta

A corrente de probabilidade para a função de onda dada é:
J(x, t) = hbarm a sin(3pi xa) sin((E2 - E1) thbar)

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