Seja a função de onda dada por
a) Mostre que se é normalizada, então .
b) Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda e pede para a gente fazer duas coisas:
a) Mostrar que se está normalizada, então a constante é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função de onda estar normalizada. Na mecânica quântica, uma função de onda normalizada garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Isso envolve calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda e igualar a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização:
Como a função de onda é zero fora do intervalo , a integral se reduz a esse intervalo:

Passo 3

Agora, vamos calcular . Lembrando que , onde é o complexo conjugado de . No nosso caso:
Porque .

Passo 4

Substituindo na integral de normaliza�o:
Como é constante, podemos tirá-lo da integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral . A antiderivada de é . Então:

Passo 6

Substituindo de volta na equação de normalização:

Passo 7

Agora, para a parte b), queremos encontrar a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . A probabilidade é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nesse intervalo.

Passo 8

Usamos a mesma expressão para :
Porque já sabemos que .

Passo 9

A probabilidade de encontrar a partícula entre e é:

Passo 10

Calculamos a integral:

Passo 11

Simplificando:

Resposta

Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .

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