a) Mostre que se é normalizada, então .
b) Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda e pede para a gente fazer duas coisas:
a) Mostrar que se está normalizada, então a constante é igual a .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função de onda estar normalizada. Na mecânica quântica, uma função de onda normalizada garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Isso envolve calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda e igualar a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição de normalização:
Como a função de onda é zero fora do intervalo , a integral se reduz a esse intervalo:
Passo 3
Agora, vamos calcular . Lembrando que , onde é o complexo conjugado de . No nosso caso:
Porque .
Passo 4
Substituindo na integral de normaliza�o:
Como é constante, podemos tirá-lo da integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral . A antiderivada de é . Então:
Passo 6
Substituindo de volta na equação de normalização:
Passo 7
Agora, para a parte b), queremos encontrar a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo . A probabilidade é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nesse intervalo.
Passo 8
Usamos a mesma expressão para :
Porque já sabemos que .
Passo 9
A probabilidade de encontrar a partícula entre e é:
Passo 10
Calculamos a integral:
Passo 11
Simplificando:
Resposta
Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo é .