Seja a função de onda dada por
Psi(x, t)= C 1x e^i omega t, & se 1 <= x <= 2 0, & se fora do intervalo
a) Mostre que se Psi(x, t) é normalizada, então C=raiz2.
b) Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 3 / 2 <= x <= 2 é 1 / 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda Psi(x, t) e pede para a gente fazer duas coisas:
a) Mostrar que se Psi(x, t) está normalizada, então a constante C é igual a raiz2.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função de onda estar normalizada. Na mecânica quântica, uma função de onda normalizada garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Isso envolve calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda e igualar a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 , dx = 1
Como a função de onda é zero fora do intervalo 1 <= x <= 2, a integral se reduz a esse intervalo:
integral1^2 |Psi(x, t)|^2 , dx = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular |Psi(x, t)|^2. Lembrando que |Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t), onde Psi^*(x, t) é o complexo conjugado de Psi(x, t). No nosso caso:
|Psi(x, t)|^2 = | C 1x e^i omega t |^2 = C^2 1x^2
Porque |e^i omega t|^2 = 1.

Passo 4

Substituindo na integral de normaliza�o:
integral1^2 C^2 1x^2 , dx = 1
Como C^2 é constante, podemos tirá-lo da integral:
C^2 integral1^2 1x^2 , dx = 1

Passo 5

Vamos calcular a integral integral1^2 1x^2 , dx. A antiderivada de 1x^2 é -1x. Então:
integral1^2 1x^2 , dx = [ -1x ]1^2 = -12 + 11 = 12

Passo 6

Substituindo de volta na equação de normalização:
C^2 cdot 12 = 1 C^2 = 2 C = raiz2

Passo 7

Agora, para a parte b), queremos encontrar a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 3/2 <= x <= 2. A probabilidade é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nesse intervalo.

Passo 8

Usamos a mesma expressão para |Psi(x, t)|^2:
|Psi(x, t)|^2 = C^2 1x^2 = 2 1x^2
Porque já sabemos que C = raiz2.

Passo 9

A probabilidade P de encontrar a partícula entre 3/2 e 2 é:
P = integral3/2^2 2 1x^2 , dx

Passo 10

Calculamos a integral:
P = 2 integral3/2^2 1x^2 , dx = 2 [ -1x ]3/2^2 = 2 ( -12 + 23 )

Passo 11

Simplificando:
2 ( -12 + 23 ) = 2 ( -3 + 46 ) = 2 ( 16 ) = 26 = 13

Resposta

Portanto, a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 3/2 <= x <= 2 é 13.

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