a) Mostre que se Psi(x, t) é normalizada, então C=raiz2.
b) Mostre que a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 3 / 2 <= x <= 2 é 1 / 3.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função de onda Psi(x, t) e pede para a gente fazer duas coisas:
a) Mostrar que se Psi(x, t) está normalizada, então a constante C é igual a raiz2.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função de onda estar normalizada. Na mecânica quântica, uma função de onda normalizada garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. Isso envolve calcular a integral do módulo ao quadrado da função de onda e igualar a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a condição de normalização:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 , dx = 1
Como a função de onda é zero fora do intervalo 1 <= x <= 2, a integral se reduz a esse intervalo:
integral1^2 |Psi(x, t)|^2 , dx = 1
Passo 3
Agora, vamos calcular |Psi(x, t)|^2. Lembrando que |Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t), onde Psi^*(x, t) é o complexo conjugado de Psi(x, t). No nosso caso:
|Psi(x, t)|^2 = | C 1x e^i omega t |^2 = C^2 1x^2
Porque |e^i omega t|^2 = 1.
Passo 4
Substituindo na integral de normaliza�o:
integral1^2 C^2 1x^2 , dx = 1
Como C^2 é constante, podemos tirá-lo da integral:
C^2 integral1^2 1x^2 , dx = 1
Passo 5
Vamos calcular a integral integral1^2 1x^2 , dx. A antiderivada de 1x^2 é -1x. Então:
Agora, para a parte b), queremos encontrar a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo 3/2 <= x <= 2. A probabilidade é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nesse intervalo.
Passo 8
Usamos a mesma expressão para |Psi(x, t)|^2:
|Psi(x, t)|^2 = C^2 1x^2 = 2 1x^2
Porque já sabemos que C = raiz2.
Passo 9
A probabilidade P de encontrar a partícula entre 3/2 e 2 é: