Determine para quais valores de r a função y(t) é solução da equação: y(t) = r / (t^2 + 1) e y' - 2 t y^2 = 0

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Queremos descobrir para quais valores de a função resolve a equação diferencial . Para isso, vamos precisar calcular a derivada de e substituir na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de . A função é . Usando a regra do quociente para derivadas:

Passo 3

Agora, substituímos e na equação diferencial :

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
Podemos unir os termos:
Fatorando no numerador:

Passo 5

Para que a fração seja igual a zero, o numerador deve ser zero:
Isso acontece quando ou . Como queremos que a equação seja válida para todo , devemos ter:
Portanto, ou .

Resposta

Os valores de que tornam uma solução da equação são e .

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