Determine uma parametrização para a curva interseção dos, cilindros parabólicos e . Determine as equaçőes dos planos normais e osculador da curva no ponto ( ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização para a curva que resulta da interseção dos cilindros parabólicos e . Depois, precisamos descobrir as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no espaço e geometria diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma parametrização para a curva de interseção. Como temos , podemos usar como parâmetro. Assim, definimos:

Passo 3

Agora, substituímos na segunda equação :

Passo 4

Então, nossa parametrização fica em função de :
Podemos também usar um parâmetro no lugar de :

Passo 5

Agora que temos a parametrização , vamos calcular a derivada para achar o vetor tangente à curva:

Passo 6

No ponto , identificamos que porque:

Passo 7

Calculamos o vetor tangente no ponto :

Passo 8

O plano normal à curva no ponto é definido pelo vetor normal, que é o vetor tangente. A equação do plano normal é dada por:
Simplificando:

Passo 9

Para determinar o plano osculador, precisamos do vetor de curvatura. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
No ponto :

Passo 10

O plano osculador é gerado pelo vetor tangente e o vetor de curvatura. Usando os vetores e , a equação do plano osculador é:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Ou simplificando mais:

Resposta

A parametrização da curva é . No ponto , o plano normal é e o plano osculador é .

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