Determine uma parametrização para a curva interseção dos, cilindros parabólicos e . Determine as equaçőes dos planos normais e osculador da curva no ponto ( ).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização para a curva que resulta da interseção dos cilindros parabólicos e . Depois, precisamos descobrir as equações dos planos normal e osculador da curva no ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no espaço e geometria diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma parametrização para a curva de interseção. Como temos , podemos usar como parâmetro. Assim, definimos:
Passo 3
Agora, substituímos na segunda equação :
Passo 4
Então, nossa parametrização fica em função de :
Podemos também usar um parâmetro no lugar de :
Passo 5
Agora que temos a parametrização , vamos calcular a derivada para achar o vetor tangente à curva:
Passo 6
No ponto , identificamos que porque:
Passo 7
Calculamos o vetor tangente no ponto :
Passo 8
O plano normal à curva no ponto é definido pelo vetor normal, que é o vetor tangente. A equação do plano normal é dada por:
Simplificando:
Passo 9
Para determinar o plano osculador, precisamos do vetor de curvatura. Primeiro, calculamos a segunda derivada:
No ponto :
Passo 10
O plano osculador é gerado pelo vetor tangente e o vetor de curvatura. Usando os vetores e , a equação do plano osculador é:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Ou simplificando mais:
Resposta
A parametrização da curva é . No ponto , o plano normal é e o plano osculador é .