Considere a equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,
Na unidade anterior vimos que a solução geral da homogênea associada é , onde as funções dependem das raízes do polinômio característico . A função dada pelo determinante
denomina-se wronskiano de .
a) Mostre que para todo ;
b) Mostre que qualquer solução particular da equação acima tem a forma
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
O que precisamos fazer é:
a) Mostrar que o wronskiano nunca é zero para todo .
b) Demonstrar que qualquer solução particular dessa equação tem a forma:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, a solução geral da homogênea e o conceito de wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a solução geral da equação homogênea associada:
Sabemos que a solução geral é:
Aqui, e são as soluções da equação homogênea, e e são constantes. Essas soluções dependem das raízes do polinômio característico .
Passo 3
Agora, vamos introduzir o wronskiano , que é dado por:
O wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções e são linearmente independentes. Se para todo , então e são soluções linearmente independentes, o que é essencial para termos uma solução geral válida.
Passo 4
Vamos para a parte a). Precisamos mostrar que para todo .
Sabemos que se as soluções e são linearmente independentes, o wronskiano nunca é zero. Como estamos tratando de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e assumimos que e são soluções distintas (ou seja, as raízes do polinômio característico são distintas), elas são linearmente independentes. Portanto, para todo .
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar uma solução particular da equação não homogênea:
Para isso, vamos usar o método de variação das constantes (ou parâmetros). A ideia é procurar uma solução particular na forma:
onde e são funç��es a serem determinadas.
Passo 6
Derivando :
E derivando novamente:
Mas para simplificar os cálculos, impomos que:
Passo 7
Com essa condição, a expressão para fica:
E a segunda derivada simplifica para:
Passo 8
Substituindo , e na equação original:
Como e são soluções da equação homogênea, temos:
Portanto, os termos com e se cancelam, restando:
Passo 9
Agora, temos um sistema de equações:
Podemos resolver esse sistema usando matrizes. Representando em forma matricial:
$$
$$
A solução para e envolve o determinante dessa matriz, que é justamente o wronskiano .
Passo 10
Resolvendo o sistema, temos:
Integrando ambos os lados, obtemos:
Passo 11
Finalmente, substituindo e na expressão de :
Isso prova que a solução particular tem a forma apresentada no enunciado.
Resposta
a) Para todo , o wronskiano .
b) Qualquer solução particular da equação é dada por: