Considere a equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,
ddotx+b dotx+c x=f(t)
Na unidade anterior vimos que a solução geral da homogênea associada é xh=Ag1(t)+Bg2(t), onde as funções g1, g2 dependem das raízes do polinômio característico p(lambda)=lambda^2+b lambda+c. A função dada pelo determinante
W(t)=|r g1(t) g2(t) g1^prime(t) g2^prime(t) |
denomina-se wronskiano de .
a) Mostre que para todo g1, g2;
b) Mostre que qualquer solução particular t in R, W(t) neq 0 da equação acima tem a forma
xp

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
ddotx + b dotx + c x = f(t)
O que precisamos fazer é:
a) Mostrar que o wronskiano xp = -g1(t) integral g2(t) f(t)W(t) , dt + g2(t) integral g1(t) f(t)W(t) , dt nunca é zero para todo .
b) Demonstrar que qualquer solução particular dessa equação tem a forma:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, a solução geral da homogênea e o conceito de wronskiano.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a solução geral da equação homogênea associada:
ddotx + b dotx + c x = 0
Sabemos que a solução geral é:
xh = A g1(t) + B g2(t)
Aqui, e são as soluções da equação homogênea, e e são constantes. Essas soluções dependem das raízes do polinômio característico .

Passo 3

Agora, vamos introduzir o wronskiano W(t) = g1(t) & g2(t) g1'(t) & g2'(t) , que é dado por:
O wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções e são linearmente independentes. Se para todo , então e são soluções linearmente independentes, o que é essencial para termos uma solução geral válida.

Passo 4

Vamos para a parte a). Precisamos mostrar que para todo .
Sabemos que se as soluções e são linearmente independentes, o wronskiano nunca é zero. Como estamos tratando de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e assumimos que e são soluções distintas (ou seja, as raízes do polinômio característico são distintas), elas são linearmente independentes. Portanto, para todo .

Passo 5

Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar uma solução particular ddotx + b dotx + c x = f(t) da equação não homogênea:
xp = u1(t) g1(t) + u2(t) g2(t)
Para isso, vamos usar o método de variação das constantes (ou parâmetros). A ideia é procurar uma solução particular na forma:
onde e são funç��es a serem determinadas.

Passo 6

Derivando dotxp = u1'(t) g1(t) + u1(t) g1'(t) + u2'(t) g2(t) + u2(t) g2'(t) :
ddotxp = u1''(t) g1(t) + 2u1'(t) g1'(t) + u1(t) g1''(t) + u2''(t) g2(t) + 2u2'(t) g2'(t) + u2(t) g2''(t)
E derivando novamente:
u1'(t) g1(t) + u2'(t) g2(t) = 0
Mas para simplificar os cálculos, impomos que:

Passo 7

Com essa condição, a expressão para dotxp = u1(t) g1'(t) + u2(t) g2'(t) fica:
ddotxp = u1'(t) g1'(t) + u2'(t) g2'(t) + u1(t) g1''(t) + u2(t) g2''(t)
E a segunda derivada simplifica para:

Passo 8

Substituindo u1'(t) g1'(t) + u2'(t) g2'(t) + u1(t) g1''(t) + u2(t) g2''(t) + b [u1(t) g1'(t) + u2(t) g2'(t)] + c [u1(t) g1(t) + u2(t) g2(t)] = f(t) , g1''(t) + b g1'(t) + c g1(t) = 0 e g2''(t) + b g2'(t) + c g2(t) = 0 na equação original:
u1'(t) g1'(t) + u2'(t) g2'(t) = f(t)
Como e são soluções da equação homogênea, temos:
Portanto, os termos com e se cancelam, restando:

Passo 9

Agora, temos um sistema de equações:
u1'(t) g1(t) + u2'(t) g2(t) = 0 u1'(t) g1'(t) + u2'(t) g2'(t) = f(t)
Podemos resolver esse sistema usando matrizes. Representando em forma matricial:
$$
g1(t) & g2(t) g1'(t) & g2'(t) u1'(t) u2'(t) = 0 f(t)

$$
A solução para e envolve o determinante dessa matriz, que é justamente o wronskiano .

Passo 10

Resolvendo o sistema, temos:
u1'(t) = -g2(t) f(t)W(t)
u2'(t) = g1(t) f(t)W(t)
Integrando ambos os lados, obtemos:
u1(t) = -integral g2(t) f(t)W(t) , dt
u2(t) = integral g1(t) f(t)W(t) , dt

Passo 11

Finalmente, substituindo xp = -g1(t) integral g2(t) f(t)W(t) , dt + g2(t) integral g1(t) f(t)W(t) , dt e na expressão de :
Isso prova que a solução particular tem a forma apresentada no enunciado.

Resposta

a) Para todo xp = -g1(t) integral g2(t) f(t)W(t) , dt + g2(t) integral g1(t) f(t)W(t) , dt , o wronskiano .
b) Qualquer solução particular da equação é dada por:

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