Considere a equação diferencial linear de segunda ordem, não homogênea, com coeficientes constantes,
Na unidade anterior vimos que a solução geral da homogênea associada é , onde as funções dependem das raízes do polinômio característico . A função dada pelo determinante
denomina-se wronskiano de .
a) Mostre que para todo g1, g2;
b) Mostre que qualquer solução particular t in R, W(t) neq 0 da equação acima tem a forma
xp
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes:
ddotx + b dotx + c x = f(t)
O que precisamos fazer é:
a) Mostrar que o wronskiano xp = -g1(t) integral g2(t) f(t)W(t) , dt + g2(t) integral g1(t) f(t)W(t) , dt nunca é zero para todo .
b) Demonstrar que qualquer solução particular dessa equação tem a forma:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares, a solução geral da homogênea e o conceito de wronskiano.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre a solução geral da equação homogênea associada:
ddotx + b dotx + c x = 0
Sabemos que a solução geral é:
xh = A g1(t) + B g2(t)
Aqui, e são as soluções da equação homogênea, e e são constantes. Essas soluções dependem das raízes do polinômio característico .
Passo 3
Agora, vamos introduzir o wronskiano W(t) = g1(t) & g2(t) g1'(t) & g2'(t) , que é dado por:
O wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções e são linearmente independentes. Se para todo , então e são soluções linearmente independentes, o que é essencial para termos uma solução geral válida.
Passo 4
Vamos para a parte a). Precisamos mostrar que para todo .
Sabemos que se as soluções e são linearmente independentes, o wronskiano nunca é zero. Como estamos tratando de uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e assumimos que e são soluções distintas (ou seja, as raízes do polinômio característico são distintas), elas são linearmente independentes. Portanto, para todo .
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar uma solução particular ddotx + b dotx + c x = f(t) da equação não homogênea:
xp = u1(t) g1(t) + u2(t) g2(t)
Para isso, vamos usar o método de variação das constantes (ou parâmetros). A ideia é procurar uma solução particular na forma: