Seja F uma transformação linear que tem a matriz da transformação dada por
[ 0 1 1; -1 2 1; -1 1 2 ]
Sabendo que um dos autovalores dessa matriz é 1 responda:
a) (1,0 ponto) Determine os autovalores desta transformação

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear representada por uma matriz 3x3. A pergunta é sobre encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que indicam como a transformação escala os vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de polinômio característico e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz , a gente precisa resolver a equação:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 3

Vamos montar a matriz . Nossa matriz é:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Calculando o determinante, podemos expandir pela primeira linha:

Passo 5

Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
  1. Primeiro determinante:
  1. Segundo determinante:
  1. Terceiro determinante:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão do determinante:
Vamos simplificar cada parte:
  1. Expandindo :
Então,
  1. A expressão completa fica:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando:

Passo 7

Agora, a gente tem a equação característica:
Podemos fatorar :
Isso nos dá uma raiz óbvia:

Passo 8

Agora, vamos resolver a equação quadrática dentro dos parênteses:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar:
Agora, fatorando:
Então, as soluções são:

Resposta

Os autovalores da transformação são , e .

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