Seja F uma transformação linear que tem a matriz da transformação dada por
Sabendo que um dos autovalores dessa matriz é 1 responda:
a) (1,0 ponto) Determine os autovalores desta transformação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma transformação linear representada por uma matriz 3x3. A pergunta é sobre encontrar os autovalores dessa matriz. Autovalores são valores que indicam como a transformação escala os vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de polinômio característico e determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os autovalores de uma matriz , a gente precisa resolver a equação:
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade do mesmo tamanho que .
Passo 3
Vamos montar a matriz . Nossa matriz é:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Calculando o determinante, podemos expandir pela primeira linha:
Passo 5
Vamos calcular cada um desses determinantes menores:
Primeiro determinante:
Segundo determinante:
Terceiro determinante:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão do determinante:
Vamos simplificar cada parte:
Expandindo :
Então,
A expressão completa fica:
Simplificando:
Os termos e se cancelam, restando:
Passo 7
Agora, a gente tem a equação característica:
Podemos fatorar :
Isso nos dá uma raiz óbvia:
Passo 8
Agora, vamos resolver a equação quadrática dentro dos parênteses:
Multiplicando ambos os lados por -1 para simplificar: