Determine uma parametrização para a superfície dada: O pedaço do parabolóide elíptico
que está à direita do plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma parametrização para a superfície do parabolóide elíptico definido por
que está à direita do plano
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quadricas. Vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e entender o que significa estar "à direita do plano
".
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a superfície dada:
. Isso é um parabolóide elíptico, que é uma superfície parabólica em duas direções. Para parametrizar essa superfície, vamos escolher duas variáveis livres, geralmente
e
, e expressar
em termos delas.
Passo 3
A parametrização básica da superfície pode ser escrita como:
Aqui,
e
são os parâmetros que variam livremente, e
é definido pela equação do parabolóide.
Passo 4
Agora, precisamos considerar a restrição de que a superfície está "à direita do plano
". O plano
é onde
. Estar à direita desse plano significa que estamos considerando os valores de
positivos. Portanto, devemos restringir
a ser maior ou igual a zero:
Passo 5
Com essa restrição, nossa parametrização final fica:
Isso garante que estamos considerando apenas a parte do parabolóide que está à direita do plano
.
Resposta
A parametrização da superfície é