Determine uma parametrização para a superfície dada: O pedaço do parabolóide elíptico que está à direita do plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar uma parametrização para a superfície do parabolóide elíptico definido por que está à direita do plano . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com superfícies quadricas. Vamos precisar usar conceitos de parametrização de superfícies e entender o que significa estar "à direita do plano ".

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a superfície dada: . Isso é um parabolóide elíptico, que é uma superfície parabólica em duas direções. Para parametrizar essa superfície, vamos escolher duas variáveis livres, geralmente e , e expressar em termos delas.

Passo 3

A parametrização básica da superfície pode ser escrita como:
Aqui, e são os parâmetros que variam livremente, e é definido pela equação do parabolóide.

Passo 4

Agora, precisamos considerar a restrição de que a superfície está "à direita do plano ". O plano é onde . Estar à direita desse plano significa que estamos considerando os valores de positivos. Portanto, devemos restringir a ser maior ou igual a zero:

Passo 5

Com essa restrição, nossa parametrização final fica:
Isso garante que estamos considerando apenas a parte do parabolóide que está à direita do plano .

Resposta

A parametrização da superfície é

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