Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo. determine uma função tal que . .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função tal que . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar (chamada de potencial) cuja gradiente é igual ao campo vetorial. Em termos simples, isso significa que o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula de um ponto a outro não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Para verificar se o campo é conservativo, uma maneira fácil é calcular o rotacional de , denotado por . Se o rotacional for zero em todo o espaço, então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de :
Substituindo os componentes de :
Calculando as derivadas:
Como o rotacional não é zero (a menos que , o que não é verdade para todos os ), concluímos que o campo não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial não é conservativo.

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