Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo. determine uma função f tal que F = nabla f. F(x, y, z) = e^x i + e^z j + e^y k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir se o campo vetorial F(x, y, z) = e^x i + e^z j + e^y k é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função f tal que . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar f (chamada de potencial) cuja gradiente é igual ao campo vetorial. Em termos simples, isso significa que o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula de um ponto a outro não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.

Passo 3

Para verificar se o campo F é conservativo, uma maneira fácil é calcular o rotacional de F, denotado por nabla vezes F. Se o rotacional for zero em todo o espaço, então o campo é conservativo.

Passo 4

Vamos calcular o rotacional de F:
Substituindo os componentes de F:
Calculando as derivadas:
Como o rotacional não é zero (a menos que , o que não é verdade para todos os (x, y, z)), concluímos que o campo F não é conservativo.

Resposta

O campo vetorial F(x, y, z) = e^x i + e^z j + e^y k não é conservativo.

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