Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo. determine uma função
tal que
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para a gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função
tal que
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função escalar
(chamada de potencial) cuja gradiente é igual ao campo vetorial. Em termos simples, isso significa que o trabalho realizado pelo campo ao mover uma partícula de um ponto a outro não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.
Passo 3
Para verificar se o campo
é conservativo, uma maneira fácil é calcular o rotacional de
, denotado por
. Se o rotacional for zero em todo o espaço, então o campo é conservativo.
Passo 4
Vamos calcular o rotacional de
:
Substituindo os componentes de
:
Calculando as derivadas:
Como o rotacional não é zero (a menos que
, o que não é verdade para todos os
), concluímos que o campo
não é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
não é conservativo.
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Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
: é formado pelo arco da parábola
de
até
seguido do segmento de reta de
até
.
Determine uma parametrização para a superfície dada: O pedaço do parabolóide elíptico
que está à direita do plano
.
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: é a circunferência
.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial dado:
.