Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla. : é formado pelo arco da parábola de até seguido do segmento de reta de até .

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente verificar o Teorema de Green usando uma calculadora algébrica como o Wolfram Alpha. A gente tem que calcular duas coisas: a integral de linha e a integral dupla. As funções envolvidas são e . A curva é formada por duas partes: primeiro, o arco da parábola indo de até , e depois, um segmento de reta que volta de pra .

Passo 2

Vamos começar calculando a integral de linha ao longo da curva . Essa integral é dada por:
Como a curva é fechada (começa e termina no mesmo ponto), podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre a região delimitada por .

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Green, primeiro precisamos calcular a derivada parcial de em relação a e a derivada parcial de em relação a :
Agora, a integral dupla fica:

Passo 4

Vamos calcular as duas integrais usando o Wolfram Alpha ou outra ferramenta similar.
  1. Integral de Linha:
  2. Integral Dupla:
Após calcular ambas as integrais, comparamos os resultados para verificar se são iguais, como o Teorema de Green propõe.

Resposta

Após realizar os cálculos, constatamos que a integral de linha é igual à integral dupla:
Isso confirma que o Teorema de Green está válido para a curva e funções dadas.

Exercícios relacionados

Determine uma parametrização para a superfície dada: O pedaço do parabolóide elíptico que está à direita do plano .
Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial sobre uma superfície orientada com vetor normal unitário .
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo. determine uma função tal que . .
Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla. : é a circunferência .