Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
: é formado pelo arco da parábola
de
até
seguido do segmento de reta de
até
.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente verificar o Teorema de Green usando uma calculadora algébrica como o Wolfram Alpha. A gente tem que calcular duas coisas: a integral de linha e a integral dupla. As funções envolvidas são e . A curva
é formada por duas partes: primeiro, o arco da parábola
indo de
até
, e depois, um segmento de reta que volta de
pra
.
Passo 2
Vamos começar calculando a integral de linha ao longo da curva
. Essa integral é dada por:
Como a curva
é fechada (começa e termina no mesmo ponto), podemos aplicar o Teorema de Green, que relaciona essa integral de linha com uma integral dupla sobre a região
delimitada por
.
Passo 3
Para aplicar o Teorema de Green, primeiro precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
e a derivada parcial de
em relação a
:
Agora, a integral dupla fica:
Passo 4
Vamos calcular as duas integrais usando o Wolfram Alpha ou outra ferramenta similar.
-
Integral de Linha:
-
Integral Dupla:
Após calcular ambas as integrais, comparamos os resultados para verificar se são iguais, como o Teorema de Green propõe.
Resposta
Após realizar os cálculos, constatamos que a integral de linha é igual à integral dupla:
Isso confirma que o Teorema de Green está válido para a curva e funções dadas.
Exercícios relacionados
Determine uma parametrização para a superfície dada: O pedaço do parabolóide elíptico
que está à direita do plano
.
Responda conforme o conteúdo de Superfícies Orientadas.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial sobre uma superfície orientada
com vetor normal unitário
.
(b) Defina a integral de superfície (fluxo) de um campo vetorial
Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se conservativo. determine uma função
tal que
.
.
Verifique o Teorema de Grenn usando um sistema algébrico computacional (Symbolab, Wolfram-alpha, Geogebra) para calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla.
: é a circunferência
.