Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a soma de duas séries infinitas. Isso envolve matemática de séries e, mais especificamente, séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como somar séries geométricas e usar um pouco de cálculo básico, tipo derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série (i):
Essa é uma série onde cada termo é da forma . Para somar isso, a gente pode aproveitar uma fórmula conhecida para séries geométricas. Vamos começar com a série geométrica básica:
Agora, para trazer o para dentro da soma, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por para ajustar a potência:
Como a soma começa em , o resultado permanece o mesmo:

Passo 3

Agora, vamos para a série (ii):
Essa série também tem a forma , onde . Já sabemos a fórmula geral para , então vamos substituir por :

Resposta

A soma da série (i) é e a soma da série (ii) é 2.

Exercícios relacionados

Seja . Mostre que a série converge para todos os valores de , mas que a série de derivadas diverge quando um inteiro. Para quais valores de a série converge?
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Verifique que para a função .
Determine para as funções abaixo:
a)



b)