Encontre a soma de cada uma das séries a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a soma de duas séries infinitas. Isso envolve matemática de séries e, mais especificamente, séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como somar séries geométricas e usar um pouco de cálculo básico, tipo derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série (i):
Essa é uma série onde cada termo é da forma
. Para somar isso, a gente pode aproveitar uma fórmula conhecida para séries geométricas. Vamos começar com a série geométrica básica:
Agora, para trazer o
para dentro da soma, vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar a potência:
Como a soma começa em
, o resultado permanece o mesmo:
Passo 3
Agora, vamos para a série (ii):
Essa série também tem a forma
, onde
. Já sabemos a fórmula geral para
, então vamos substituir
por
:
Resposta
A soma da série (i) é
e a soma da série (ii) é 2.
Exercícios relacionados
Seja
. Mostre que a série
converge para todos os valores de
, mas que a série de derivadas
diverge quando
um inteiro. Para quais valores de
a série
converge?
Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Verifique que
para a função
.
Determine
para as funções abaixo:
a)
b)
a)
b)