Determine o periodo das seguintes funçőes:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o período de várias funções trigonométricas e exponenciais. Vamos precisar entender o que é o período de uma função e como encontrá-lo para diferentes tipos de funções. Isso envolve conhecimentos de trigonometria e funções periódicas.
Passo 2
Vamos começar entendendo o que é o período de uma função. O período é o menor intervalo após o qual a função se repete. Por exemplo, para a função seno, $ \sin(t) $, o período é $ 2\pi $ porque a função se repete a cada $ 2\pi $ unidades de $ t $.
Passo 3
Agora, vamos analisar cada função individualmente para encontrar seu período.
(a) $ f_{1}(t) = 4 \sin(5t) + 3 \sin(6t) $
Primeiro, identificamos os períodos das funções seno dentro de $ f_{1}(t) $:
- Para $ \sin(5t) $, o período é $ \frac{2\pi}{5} $.
- Para $ \sin(6t) $, o período é $ \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} $.
Para encontrar o período da soma dessas duas funções, precisamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos períodos individuais:
- MMC de $ \frac{2\pi}{5} $ e $ \frac{\pi}{3} $ é $ 2\pi $.
Então, o período de $ f_{1}(t) $ é $ 2\pi $.
(b) $ f_{2}(t) = 12 + 5 \cos(2t) + 2 \cos\left(4t + 45^{\circ}\right) $
Vamos encontrar os períodos das funções cosseno:
- Para $ \cos(2t) $, o período é $ \frac{2\pi}{2} = \pi $.
- Para $ \cos(4t + 45^{\circ}) $, o período é $ \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} $.
O termo constante 12 não afeta o período da função.
Agora, encontramos o MMC de $ \pi $ e $ \frac{\pi}{2} $, que é $ \pi $.
Então, o período de $ f_{2}(t) $ é $ \pi $.
© $ f_{3}(t) = 4 \sin^{2}(600\pi t) $
Primeiro, vamos simplificar $ \sin^{2}(600\pi t) $ usando uma identidade trigonométrica:
Aplicando essa identidade:
Agora, encontramos o período de $ \cos(1200\pi t) $:
Então, o período de $ f_{3}(t) $ é $ \frac{1}{600} $.
(d) $ f_{4}(t) = e^{j10x} $
Aqui, temos uma função exponencial complexa. Sabemos que $ e^{jx} $ pode ser representado por $ \cos(x) + j\sin(x) $ pela fórmula de Euler, onde $ j $ é a unidade imaginária.
Assim, $ e^{j10x} = \cos(10x) + j\sin(10x) $.
Agora, encontramos o período de $ \cos(10x) $ e $ \sin(10x) $:
Então, o período de $ f_{4}(t) $ é $ \frac{\pi}{5} $.
Resposta
(a) O período de $ f_{1}(t) $ é $ 2\pi $.
(b) O período de $ f_{2}(t) $ é $ \pi $.
© O período de $ f_{3}(t) $ é $ \frac{1}{600} $.
(d) O período de $ f_{4}(t) $ é $ \frac{\pi}{5} $.