Determine a forma em quadratura (cosseno e seno) da seguinte série de Fourier
f(t)=2+sumn=1^infty 10n^2+1 cos (2 n t+n pi4)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar a forma em quadratura (usando cosseno e seno) da seguinte série de Fourier:
f(t) = 2 + sumn=1^infty 10n^2+1 cos (2 n t + n pi4)
Matéria envolvida: Série de Fourier, representações trigonométricas de funções periódicas.
O que vamos precisar: Saber como converter expressões do tipo cos(a t + b) em uma combinação de cossenos e senos usando identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte da série que envolve cos(2 n t + n pi4). Precisamos reescrever essa expressão de forma que tenhamos uma combinação de cos(2 n t) e sin(2 n t).
Para isso, usamos a identidade trigonométrica da soma do ângulo:
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
Aplicando isso à nossa expressão:
cos(2 n t + n pi4) = cos(2 n t) cos(n pi4) - sin(2 n t) sin(n pi4)

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão de volta na série original:
f(t) = 2 + sumn=1^infty 10n^2+1 [ cos(2 n t) cos(n pi4) - sin(2 n t) sin(n pi4) ]
Isso nos dá a série em forma de quadratura, ou seja, separada em termos de cosseno e seno.

Passo 4

Para ficar mais claro, podemos distribuir o fator 10n^2+1 dentro do colchete:
f(t) = 2 + sumn=1^infty [ 10n^2+1 cos(n pi4) cos(2 n t) - 10n^2+1 sin(n pi4) sin(2 n t) ]
Dessa forma, a série está expressa como uma soma de termos de cosseno e seno, cada um multiplicado por um coeficiente específico.

Passo 5

Então, resumindo, a forma em quadratura da série de Fourier dada é:
f(t) = 2 + sumn=1^infty [ 10 cos(n pi4)n^2+1 cos(2 n t) - 10 sin(n pi4)n^2+1 sin(2 n t) ]

Resposta

A forma em quadratura da série de Fourier é:
f(t) = 2 + sumn=1^infty [ 10 cos(n pi4)n^2+1 cos(2 n t) - 10 sin(n pi4)n^2+1 sin(2 n t) ]

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