Uma função periódica é definida em seu periodo como
h(t)=ll 10 sen t, & 0
Determine a série de Fourier de h(t).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função periódica $ h(t) $ definida em um período de $ 2\pi $ de duas maneiras diferentes:
h(t)
O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções periódicas e séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período $ 2\pi $ é dada por:
2pi
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante, $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos e $ b_n $ são os coeficientes dos senos. Nosso trabalho será encontrar esses coeficientes.

Passo 3

Vamos começar calculando o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para $ a_0 $ é:
a0
Vamos dividir a integral nos dois intervalos definidos pela função.

Passo 4

Calculando a integral para $ 0 < t < \pi $:
0 < t < pi

Passo 5

Calculando a integral para $ \pi < t < 2\pi $:
pi < t < 2pi
Fazendo a substituição $ u = t - \pi $, então $ du = dt $, e os limites de integração ficam de $ 0 $ a $ \pi $:
integralpi^2pi 20 sin(t - pi) , dt

Passo 6

Somando as duas integrais:
a0 = 1pi (20 + 40) = 60pi

Passo 7

Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. A fórmula para $ a_n $ é:
an
Vamos novamente dividir a integral nos dois intervalos.

Passo 8

Para $ 0 < t < \pi $:
0 < t < pi
Usamos a identidade de produto de senos e cossenos:
10 integral0^pi sin t cos nt , dt
Assim,
sin t cos nt = 12 [sin(t + nt) + sin(t - nt)]
Ambas as integrais de senos sobre um múltiplo de $ t $ de 0 a $ \pi $ resultam em zero, já que as funções são ímpares e o intervalo é simétrico.

Passo 9

Para $ \pi < t < 2\pi $:
pi < t < 2pi
Fazendo a substituição $ u = t - \pi $, então $ du = dt $ e os limites vão de $ 0 $ a $ \pi $:
20 integralpi^2pi sin(t - pi) cos nt , dt
Usando a identidade $ \cos(n(u + \pi)) = \cos nu \cos n\pi - \sin nu \sin n\pi $.
Mas como $ \cos n\pi = (-1)^n $ e $ \sin n\pi = 0 $, simplificamos para:
u = t - pi
Que também resulta em zero pelas mesmas razões do passo anterior.

Passo 10

Portanto, todos os coeficientes $ a_n $ são iguais a zero:
an

Passo 11

Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $. A fórmula para $ b_n $ é:
bn
Novamente, dividimos a integral nos dois intervalos.

Passo 12

Para $ 0 < t < \pi $:
0 < t < pi
Utilizamos a identidade de produto de senos:
10 integral0^pi sin t sin nt , dt
Assim,
sin t sin nt = 12 [cos(n-1)t - cos(n+1)t]
Integrando, obtemos:
10 cdot 12 [ integral0^pi cos((n-1)t) , dt - integral0^pi cos((n+1)t) , dt ]
Como $ \sin(k\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ k $, essa parte também resulta em zero.

Passo 13

Para $ \pi < t < 2\pi $:
pi < t < 2pi
Fazendo a substituição $ u = t - \pi $, então $ du = dt $ e os limites vão de $ 0 $ a $ \pi $:
20 integralpi^2pi sin(t - pi) sin nt , dt
Usando a identidade $ \sin(n(u + \pi)) = \sin(nu + n\pi) = \sin nu \cos n\pi + \cos nu \sin n\pi = (-1)^n \sin nu $ (já que $ \sin n\pi = 0 $).
Portanto,
u = t - pi
Usando a mesma identidade de produto de senos:
du = dt
Assim,
0
Integrando e lembrando que $ \sin(k\pi) = 0 $:
pi

Passo 14

Parece que houve um erro no cálculo. Vamos revisar o passo anterior. A integral para $ b_n $ na segunda parte não resulta em zero. Vamos refazer:
Para $ \pi < t < 2\pi $:
bn
Usando a identidade:
pi < t < 2pi
Então,
20 integralpi^2pi sin(t - pi) sin nt , dt = 20 (-1)^n integral0^pi sin u sin nu , du
Parece que, de fato, todos os $ b_n $ também são iguais a zero.

Passo 15

Conclusivamente, todos os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ são iguais a zero, exceto o termo $ a_0 $. Portanto, a série de Fourier da função $ h(t) $ é apenas o termo constante.

Resposta

A série de Fourier de $ h(t) $ é simplesmente o termo constante:
h(t)

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