Uma função periódica é definida em seu periodo como
Determine a série de Fourier de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função periódica $ h(t) $ definida em um período de $ 2\pi $ de duas maneiras diferentes:
O objetivo é encontrar a série de Fourier dessa função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções periódicas e séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier para uma função periódica com período $ 2\pi $ é dada por:
Aqui, $ a_0 $ é o termo constante, $ a_n $ são os coeficientes dos cossenos e $ b_n $ são os coeficientes dos senos. Nosso trabalho será encontrar esses coeficientes.
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente $ a_0 $, que representa a média da função ao longo de um período. A fórmula para $ a_0 $ é:
Vamos dividir a integral nos dois intervalos definidos pela função.
Passo 4
Calculando a integral para $ 0 < t < \pi $:
Passo 5
Calculando a integral para $ \pi < t < 2\pi $:
Fazendo a substituição $ u = t - \pi $, então $ du = dt $, e os limites de integração ficam de $ 0 $ a $ \pi $:
Passo 6
Somando as duas integrais:
Passo 7
Agora, vamos calcular os coeficientes $ a_n $. A fórmula para $ a_n $ é:
Vamos novamente dividir a integral nos dois intervalos.
Passo 8
Para $ 0 < t < \pi $:
Usamos a identidade de produto de senos e cossenos:
Assim,
Ambas as integrais de senos sobre um múltiplo de $ t $ de 0 a $ \pi $ resultam em zero, já que as funções são ímpares e o intervalo é simétrico.
Passo 9
Para $ \pi < t < 2\pi $:
Fazendo a substituição $ u = t - \pi $, então $ du = dt $ e os limites vão de $ 0 $ a $ \pi $:
Usando a identidade $ \cos(n(u + \pi)) = \cos nu \cos n\pi - \sin nu \sin n\pi $.
Mas como $ \cos n\pi = (-1)^n $ e $ \sin n\pi = 0 $, simplificamos para:
Que também resulta em zero pelas mesmas razões do passo anterior.
Passo 10
Portanto, todos os coeficientes $ a_n $ são iguais a zero:
Passo 11
Agora, vamos calcular os coeficientes $ b_n $. A fórmula para $ b_n $ é:
Novamente, dividimos a integral nos dois intervalos.
Passo 12
Para $ 0 < t < \pi $:
Utilizamos a identidade de produto de senos:
Assim,
Integrando, obtemos:
Como $ \sin(k\pi) = 0 $ para qualquer inteiro $ k $, essa parte também resulta em zero.
Passo 13
Para $ \pi < t < 2\pi $:
Fazendo a substituição $ u = t - \pi $, então $ du = dt $ e os limites vão de $ 0 $ a $ \pi $:
Usando a identidade $ \sin(n(u + \pi)) = \sin(nu + n\pi) = \sin nu \cos n\pi + \cos nu \sin n\pi = (-1)^n \sin nu $ (já que $ \sin n\pi = 0 $).
Portanto,
Usando a mesma identidade de produto de senos:
Assim,
Integrando e lembrando que $ \sin(k\pi) = 0 $:
Passo 14
Parece que houve um erro no cálculo. Vamos revisar o passo anterior. A integral para $ b_n $ na segunda parte não resulta em zero. Vamos refazer:
Para $ \pi < t < 2\pi $:
Usando a identidade:
Então,
Parece que, de fato, todos os $ b_n $ também são iguais a zero.
Passo 15
Conclusivamente, todos os coeficientes $ a_n $ e $ b_n $ são iguais a zero, exceto o termo $ a_0 $. Portanto, a série de Fourier da função $ h(t) $ é apenas o termo constante.
Resposta
A série de Fourier de $ h(t) $ é simplesmente o termo constante: