Determine o peso máximo do bloco que pode ser suspenso na posição mostrada se as cordas AB e CAD podem suportar uma tensão máxima de 800 N. Além disso, qual é o ângulo para o equilíbrio?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um bloco que está suspenso por duas cordas, AB e CAD, e cada uma dessas cordas só pode aguentar uma tensão máxima de 800 N. Nossa missão é descobrir qual é o peso máximo que podemos pendurar nesse bloco sem ultrapassar a tensão máxima das cordas. Além disso, precisamos encontrar o ângulo que as cordas fazem para que tudo fique em equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equilíbrio de forças e trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como as forças estão agindo no bloco. Como o bloco está em equilíbrio, a soma de todas as forças que atuam sobre ele deve ser igual a zero. As forças envolvidas são:
Peso do bloco (): Puxa o bloco para baixo devido à gravidade.
Tensões nas cordas ( e ): Puxam o bloco para cima e para os lados, dependentes do ângulo .
Passo 3
Vamos resolver as tensões nas cordas em suas componentes vertical e horizontal. Para isso, usamos funções trigonométricas:
Componente vertical de cada tensão:
Componente horizontal de cada tensão:
Como o sistema está em equilíbrio, as componentes horizontais das tensões devem se cancelar, e as componentes verticais devem equilibrar o peso do bloco.
Passo 4
Balanceando as forças verticais:
Isso significa que o peso do bloco é igual a duas vezes a componente vertical da tensão em cada corda.
Passo 5
Sabemos que cada corda pode suportar no máximo 800 N de tensão. Então, . Substituindo na equação anterior:
Isso nos dá uma relação entre o peso máximo e o ângulo .
Passo 6
Para encontrar o ângulo , precisamos considerar que as componentes horizontais das tensões se cancelam. Isso ocorre quando as tensões são simétricas, ou seja, as cordas AB e CAD têm o mesmo ângulo em relação à vertical.
Usando a componente horizontal:
O que confirma que para equilíbrio, as cordas devem fazer o mesmo ângulo .
Passo 7
Agora, para encontrar o valor de , vamos considerar que queremos maximizar sem exceder a tensão máxima. Da equação , para maximizar , deve ser máximo. O máximo valor de é 1, quando .
No entanto, se , as cordas estariam totalmente horizontais, o que não é prático. Geralmente, escolhemos um ângulo que distribui bem as forças. Vamos reorganizar para encontrar :
Resposta
O peso máximo que pode ser suspenso é Newtons, e o ângulo para o equilíbrio é dado por . Para maximizar sem exceder a tensão das cordas, deve ser tal que não ultrapasse 1600 N. Por exemplo, se , então:
Portanto, o peso máximo seria 800 N com um ângulo de 30 graus.