Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para definir a dimensão do espaço imagem de cada transformação linear acima. A partir da dimensão, esboce cada um dos espaços imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar os núcleos das transformações lineares e dadas pelas matrizes, e usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para descobrir a dimensão do espaço imagem de cada transformação. Depois disso, vamos esboçar os espaços imagem com base nessas dimensões. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre núcleos, imagens e o teorema mencionado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de uma matriz é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Em outras palavras, é o conjunto de soluções da equação homogênea.
Passo 3
Vamos começar encontrando o núcleo da transformação . A matriz é:
Queremos resolver a equação , onde é um vetor em .
Passo 4
Para resolver , vamos montar o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação.
Passo 5
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Agora, sabemos que . Vamos substituir isso na segunda equação:
Passo 6
Agora, da terceira equação:
Então, e, consequentemente, . Portanto, o único vetor no núcleo de é o vetor nulo .
Passo 7
Agora, vamos descobrir a dimensão do espaço imagem de usando o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
ú
Como o núcleo de é apenas o vetor nulo, sua dimensão é 0. Então:
Isso significa que a imagem de é toda a .
Passo 8
Agora, vamos fazer o mesmo para a transformação . A matriz é:
Vamos resolver .
Passo 9
Montando o sistema:
Vamos resolver esse sistema.
Passo 10
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:
Passo 11
Agora, da terceira equação:
Isso confirma as soluções anteriores. Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser expresso como:
Passo 12
Isso significa que o núcleo de é gerado por um vetor não nulo, então sua dimensão é 1.
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Então, a imagem de é um plano em .
Resposta
Para a transformação , o núcleo é apenas o vetor nulo e a imagem é todo o espaço com dimensão 3. Já para a transformação , o núcleo é uma reta no espaço (dimensão 1) e a imagem é um plano em com dimensão 2.