Esboce os núcleos das transformações lineares:
Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para definir a dimensão do espaço imagem de cada transformação linear acima. A partir da dimensão, esboce cada um dos espaços imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar os núcleos das transformações lineares e dadas pelas matrizes, e usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para descobrir a dimensão do espaço imagem de cada transformação. Depois disso, vamos esboçar os espaços imagem com base nessas dimensões. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre núcleos, imagens e o teorema mencionado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de uma matriz é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Em outras palavras, é o conjunto de soluções da equação homogênea.

Passo 3

Vamos começar encontrando o núcleo da transformação . A matriz é:
Queremos resolver a equação , onde é um vetor em .

Passo 4

Para resolver , vamos montar o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação.

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
Agora, sabemos que . Vamos substituir isso na segunda equação:

Passo 6

Agora, da terceira equação:
Então, e, consequentemente, . Portanto, o único vetor no núcleo de é o vetor nulo .

Passo 7

Agora, vamos descobrir a dimensão do espaço imagem de usando o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
ú
Como o núcleo de é apenas o vetor nulo, sua dimensão é 0. Então:
Isso significa que a imagem de é toda a .

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para a transformação . A matriz é:
Vamos resolver .

Passo 9

Montando o sistema:
Vamos resolver esse sistema.

Passo 10

Subtraindo a segunda equação da primeira:
Substituindo na segunda equação:

Passo 11

Agora, da terceira equação:
Isso confirma as soluções anteriores. Portanto, todo vetor no núcleo de pode ser expresso como:

Passo 12

Isso significa que o núcleo de é gerado por um vetor não nulo, então sua dimensão é 1.
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Então, a imagem de é um plano em .

Resposta

Para a transformação , o núcleo é apenas o vetor nulo e a imagem é todo o espaço com dimensão 3. Já para a transformação , o núcleo é uma reta no espaço (dimensão 1) e a imagem é um plano em com dimensão 2.

Exercícios relacionados

Uma esfera de raio rola sem deslizar sobre uma superfície plana. Se ( ) são coordenadas do centro da esfera, mostre que, em termos dos ângulos de Euler, as condições de rolamento sem deslizamento são
e prove que esses vínculos não são holônomos.
Um projétil é atirado horizontalmente ao longo da superfície da Terra. Mostre que em primeira aproximação a deflexão angular da Força de Coriolis relativa à direção de tiro varia linearmente com o tempo a uma taxa de , onde é a velocidade angular de rotação da Terra e é a colatitude.
Determine o peso máximo do bloco que pode ser suspenso na posição mostrada se as cordas AB e CAD podem suportar uma tensão máxima de 800 N. Além disso, qual é o ângulo para o equilíbrio?
Determine o ângulo entre os dois cabos e o módulo da projeção da força ao longo do cabo .
Resp.: