Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para definir a dimensão do espaço imagem de cada transformação linear acima. A partir da dimensão, esboce cada um dos espaços imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar os núcleos das transformações lineares e dadas pelas matrizes, e usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para descobrir a dimensão do espaço imagem de cada transformação. Depois disso, vamos esboçar os espaços imagem com base nessas dimensões. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre núcleos, imagens e o teorema mencionado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de uma matriz é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Em outras palavras, é o conjunto de soluções da equação homogênea.
Passo 3
Vamos começar encontrando o núcleo da transformação A1 = 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 3 & 0 & 1 . A matriz é:
Queremos resolver a equação , onde é um vetor em .
Passo 4
Para resolver 2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 3x1 + 0x2 + x3 = 0 , vamos montar o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação.
Isso confirma as soluções anteriores. Portanto, todo vetor no núcleo de x = -x3 -x3 x3 = x3 -1 -1 1 pode ser expresso como:
Passo 12
Isso significa que o núcleo de 1 + dim(ima>=m) = 3 Rightarrow dim(ima>=m) = 2 é gerado por um vetor não nulo, então sua dimensão é 1.
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Então, a imagem de é um plano em .
Resposta
Para a transformação , o núcleo é apenas o vetor nulo e a imagem é todo o espaço com dimensão 3. Já para a transformação , o núcleo é uma reta no espaço (dimensão 1) e a imagem é um plano em com dimensão 2.