Esboce os núcleos das transformações lineares:
& A1: R^3 R^3, A1=[lll 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 3 & 0 & 1 ] & A2: R^3 R^3, A2=[lll 2 & 1 & 3 1 & 1 & 2 3 & 0 & 3 ]
Use o Teorema do Núcleo e da Imagem para definir a dimensão do espaço imagem de cada transformação linear acima. A partir da dimensão, esboce cada um dos espaços imagem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar os núcleos das transformações lineares e dadas pelas matrizes, e usar o Teorema do Núcleo e da Imagem para descobrir a dimensão do espaço imagem de cada transformação. Depois disso, vamos esboçar os espaços imagem com base nessas dimensões. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre núcleos, imagens e o teorema mencionado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo, ou kernel, de uma matriz é o conjunto de todos os vetores que satisfazem . Em outras palavras, é o conjunto de soluções da equação homogênea.

Passo 3

Vamos começar encontrando o núcleo da transformação A1 = 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 3 & 0 & 1 . A matriz é:
Queremos resolver a equação , onde é um vetor em .

Passo 4

Para resolver 2x1 + x2 + x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 0 3x1 + 0x2 + x3 = 0 , vamos montar o sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação.

Passo 5

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
(2x1 + x2 + x3) - (x1 + x2 + x3) = 0 Rightarrow x1 = 0
Agora, sabemos que 0 + x2 + x3 = 0 Rightarrow x2 = -x3 . Vamos substituir isso na segunda equação:

Passo 6

Agora, da terceira equação:
3(0) + 0x2 + x3 = 0 Rightarrow x3 = 0
Então, e, consequentemente, . Portanto, o único vetor no núcleo de é o vetor nulo .

Passo 7

Agora, vamos descobrir a dimensão do espaço imagem de dim(núc<=o) + dim(ima>=m) = dim(R^3) = 3 usando o Teorema do Núcleo e da Imagem, que diz:
0 + dim(ima>=m) = 3 Rightarrow dim(ima>=m) = 3 ú
Como o núcleo de é apenas o vetor nulo, sua dimensão é 0. Então:
Isso significa que a imagem de é toda a .

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para a transformação A2 = 2 & 1 & 3 1 & 1 & 2 3 & 0 & 3 . A matriz é:
Vamos resolver .

Passo 9

Montando o sistema:
2x1 + x2 + 3x3 = 0 x1 + x2 + 2x3 = 0 3x1 + 0x2 + 3x3 = 0
Vamos resolver esse sistema.

Passo 10

Subtraindo a segunda equação da primeira:
(2x1 + x2 + 3x3) - (x1 + x2 + 2x3) = 0 Rightarrow x1 + x3 = 0 Rightarrow x1 = -x3
Substituindo -x3 + x2 + 2x3 = 0 Rightarrow x2 + x3 = 0 Rightarrow x2 = -x3 na segunda equação:

Passo 11

Agora, da terceira equação:
3(-x3) + 0x2 + 3x3 = -3x3 + 3x3 = 0
Isso confirma as soluções anteriores. Portanto, todo vetor no núcleo de x = -x3 -x3 x3 = x3 -1 -1 1 pode ser expresso como:

Passo 12

Isso significa que o núcleo de 1 + dim(ima>=m) = 3 Rightarrow dim(ima>=m) = 2 é gerado por um vetor não nulo, então sua dimensão é 1.
Aplicando o Teorema do Núcleo e da Imagem:
Então, a imagem de é um plano em .

Resposta

Para a transformação , o núcleo é apenas o vetor nulo e a imagem é todo o espaço com dimensão 3. Já para a transformação , o núcleo é uma reta no espaço (dimensão 1) e a imagem é um plano em com dimensão 2.

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