Uma esfera de raio rola sem deslizar sobre uma superfície plana. Se ( ) são coordenadas do centro da esfera, mostre que, em termos dos ângulos de Euler, as condições de rolamento sem deslizamento são
e prove que esses vínculos não são holônomos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma esfera que está rolando sem deslizar sobre uma superfície plana. Isso está ligado à cinemática de corpos rígidos, onde analisamos como os corpos se movem sem considerar as forças que atuam sobre eles. Para resolver isso, vamos usar os ângulos de Euler, que são uma maneira de descrever a orientação de um corpo no espaço. Precisamos entender como as coordenadas do centro da esfera (x, y, R) se relacionam com esses ângulos para garantir que a esfera role sem deslizar. Além disso, vamos precisar mostrar que essas condições de movimento não são holônomas, ou seja, não podem ser expressas apenas em termos das posições das coordenadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa rolar sem deslizar. Isso quer dizer que o ponto da esfera que está em contato com a superfície não está deslizando, ou seja, sua velocidade relativa em relação à superfície é zero. Para uma esfera de raio , a velocidade do centro da esfera está relacionada à velocidade angular de rotação.
Passo 3
Agora, vamos introduzir os ângulos de Euler. Esses ângulos () descrevem a orientação da esfera no espaço. Imagine que a esfera pode girar primeiro em torno do eixo z (), depois em torno do eixo x’ () e, finalmente, novamente em torno do eixo z’’ (). As derivadas desses ângulos em relação ao tempo () nos dão as velocidades angulares correspondentes.
Passo 4
A condição de rolamento sem deslizar implica que a velocidade do ponto de contato com a superfície deve ser igual à velocidade da superfície. Como a superfície está parada, a velocidade do ponto de contato deve ser zero. Vamos relacionar isso com as velocidades angulares.
Passo 5
Para isso, precisamos expressar as velocidades e do centro da esfera em termos das derivadas dos ângulos de Euler. Isso envolve decompor a velocidade angular em componentes que afetam o movimento no plano x-y.
Passo 6
Depois de fazer as devidas decomposições e igualar as velocidades de contato a zero, obtemos as seguintes condições de rolamento sem deslizar:
Essas equações relacionam as velocidades do centro da esfera com as velocidades angulares dos ângulos de Euler.
Passo 7
Agora, precisamos provar que esses vínculos não são holônomos. Vínculos holônomos podem ser integrados para depender apenas das coordenadas generalizadas (como x, y, ), sem envolver as velocidades. No nosso caso, as equações envolvem derivadas temporais (), o que indica que elas dependem também das velocidades, tornando-as não holônomas.
Resposta
Portanto, mostrando as condições de rolamento sem deslizar em termos dos ângulos de Euler:
E provando que esses vínculos não são holônomos, pois envolvem as velocidades e não podem ser integrados apenas em termos das coordenadas.