Determine o plano que passa pelos pontos e e que seja tangente ao gráfico de .

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e e que seja tangente ao gráfico da função . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como a determinação de vetores diretores e condições de tangência entre superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um vetor diretor no plano usando os dois pontos fornecidos. Se temos dois pontos no plano, podemos encontrar um vetor que liga esses pontos.
Sejam e . O vetor diretor é dado por:

Passo 3

Para determinar o plano, precisamos de dois vetores diretores ou de um vetor normal ao plano. Sabemos que o plano também é tangente ao gráfico de . A condição de tangência implica que o vetor normal ao plano é paralelo ao gradiente da função no ponto de tangência.
Vamos encontrar o gradiente da função :

Passo 4

Assumamos que o ponto de tangência na superfície seja . O vetor normal ao plano nesse ponto será paralelo ao gradiente da função, ou seja:
onde é uma constante de proporcionalidade.

Passo 5

Sabemos que o vetor está no plano e, portanto, é perpendicular ao vetor normal . Assim, o produto escalar entre e deve ser zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Com , substituímos na expressão do vetor normal:
Além disso, o ponto de tangência deve satisfazer a equação do plano. Usando a forma geral da equação do plano e substituindo os pontos dados e as condições encontradas, podemos resolver para os coeficientes , , e .

Passo 7

Após realizar as substituições e resolver o sistema de equações resultante, obtemos a equação do plano desejado:

Resposta

$ x + 6 y - 2 z - 3 = 0 $

Exercícios relacionados

Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(b) e .
R.: e
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,
Sendo , caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo . Justifique a sua resposta.
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(i)
R.: