Determine o plano que passa pelos pontos
e
e que seja tangente ao gráfico de
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Precisamos encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos
e
e que seja tangente ao gráfico da função
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como a determinação de vetores diretores e condições de tangência entre superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um vetor diretor no plano usando os dois pontos fornecidos. Se temos dois pontos no plano, podemos encontrar um vetor que liga esses pontos.
Sejam
e
. O vetor diretor
é dado por:
Passo 3
Para determinar o plano, precisamos de dois vetores diretores ou de um vetor normal ao plano. Sabemos que o plano também é tangente ao gráfico de
. A condição de tangência implica que o vetor normal ao plano é paralelo ao gradiente da função
no ponto de tangência.
Vamos encontrar o gradiente da função
:
Passo 4
Assumamos que o ponto de tangência na superfície
seja
. O vetor normal ao plano nesse ponto será paralelo ao gradiente da função, ou seja:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
Passo 5
Sabemos que o vetor
está no plano e, portanto, é perpendicular ao vetor normal
. Assim, o produto escalar entre
e
deve ser zero:
Resolvendo para
:
Passo 6
Com
, substituímos na expressão do vetor normal:
Além disso, o ponto de tangência
deve satisfazer a equação do plano. Usando a forma geral da equação do plano
e substituindo os pontos dados e as condições encontradas, podemos resolver para os coeficientes
,
,
e
.
Passo 7
Após realizar as substituições e resolver o sistema de equações resultante, obtemos a equação do plano desejado:
Resposta
$ x + 6 y - 2 z - 3 = 0 $
Exercícios relacionados
Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(b) e
.
R.: e
(b)
R.:
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,
(e)
Sendo
, caso seja possível, expanda
em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.
Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(i)
R.:
(i)
R.: