Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(i)
R.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace inversa da função:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com termos que envolvem deslocamentos no domínio do tempo e como aplicar fórmulas básicas de transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace inversa de uma função da forma:
Isso significa que se conseguirmos ajustar a nossa função para se parecer com essa forma, podemos aplicar essa regra diretamente.

Passo 3

Observando a nossa função:
Perceba que temos um fator no numerador. Esse termo está relacionado a um deslocamento no tempo na Transformada de Laplace. Especificamente, a propriedade que usamos aqui é:
Onde é a função de Heaviside que “liga” a função a partir do tempo .

Passo 4

Aplicando essa propriedade ao nosso caso, identificamos que . Então, a presença de indica que a função no tempo será deslocada para . Portanto, a Transformada de Laplace inversa terá a forma:
Onde é a Transformada de Laplace inversa da parte sem o , ou seja:

Passo 5

Agora, vamos encontrar usando a fórmula básica que mencionei no Passo 2. Identificando os parâmetros:
  • então
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa função original, considerando o deslocamento, temos:

Passo 7

Porém, precisamos ajustar a amplitude. Observando a nossa Transformada original, faltou o fator para que a equação fique correta. Portanto, multiplicamos por esse fator:

Resposta

A Transformada de Laplace inversa é:

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Sendo , caso seja possível, expanda em uma série de senos no intervalo . Justifique a sua resposta.
Determine o plano que passa pelos pontos e e que seja tangente ao gráfico de .
Sendo a transformada de Fourier de , demonstre que a transformada de Fourier de
é dada por
em que é uma constante.
Escreva o Dominio Df das seguintes funções e esboce Df graficamente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)