Determine a Transformada de Laplace inversa das seguintes funções:
(i)
R.:
(i)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar a Transformada de Laplace inversa da função:
Aqui, estamos trabalhando com Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com termos que envolvem deslocamentos no domínio do tempo e como aplicar fórmulas básicas de transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a Transformada de Laplace inversa de uma função da forma:
Isso significa que se conseguirmos ajustar a nossa função para se parecer com essa forma, podemos aplicar essa regra diretamente.
Passo 3
Observando a nossa função:
Perceba que temos um fator
no numerador. Esse termo está relacionado a um deslocamento no tempo na Transformada de Laplace. Especificamente, a propriedade que usamos aqui é:
Onde
é a função de Heaviside que “liga” a função
a partir do tempo
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade ao nosso caso, identificamos que
. Então, a presença de
indica que a função no tempo será deslocada para
. Portanto, a Transformada de Laplace inversa terá a forma:
Onde
é a Transformada de Laplace inversa da parte sem o
, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
usando a fórmula básica que mencionei no Passo 2. Identificando os parâmetros:
-
-
então
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Voltando à nossa função original, considerando o deslocamento, temos:
Passo 7
Porém, precisamos ajustar a amplitude. Observando a nossa Transformada original, faltou o fator
para que a equação fique correta. Portanto, multiplicamos por esse fator:
Resposta
A Transformada de Laplace inversa é:
Exercícios relacionados
Sendo
, caso seja possível, expanda
em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.
Determine o plano que passa pelos pontos
e
e que seja tangente ao gráfico de
.
Sendo
a transformada de Fourier de
, demonstre que a transformada de Fourier de
é dada por
em que
é uma constante.
Escreva o Dominio Df das seguintes funções e esboce Df graficamente.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)