Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(b)
e
.
R.:
e
(b)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que liga as derivadas de
e
com
e
mesmos. O que queremos fazer é resolver esse sistema usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como resolver sistemas de equações algébricas resultantes. Além disso, vamos usar as condições iniciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. A Transformada de Laplace de uma derivada, como
, é dada por
, onde
é a Transformada de
. O mesmo vale para
, que vira
.
Então, aplicando isso nas duas equações:
Passo 3
Vamos substituir as condições iniciais
e
nas equações que obtivemos:
Passo 4
Agora, vamos organizar as equações para isolar
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
. Para isso, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 5 para facilitar a eliminação de
:
E mantemos a segunda equação:
Subtraindo a segunda equação da primeira ajustada:
Simplificando:
Combinando termos:
Isso nos dá uma relação entre
e
. Mas para simplificar, vamos resolver para
em termos de
usando a primeira equa�o original:
Substituindo isso na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Reorganizando:
Factorizando
:
Então, isolando
:
Podemos reescrever o denominador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:
Passo 6
Agora, precisamos inverter a Transformada de Laplace para encontrar
. Observando o denominador, temos uma expressão do tipo
, que se assemelha a
. Isso sugere que usaremos a forma da Transformada de Laplace que envolve senos e cossenos.
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, temos:
Podemos reescrever o numerador para que fique na forma adequada para aplicação da Transformada inversa:
Então:
Sabemos que:
Aplicando isso, temos:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação que obtivemos anteriormente:
Vamos inverter a Transformada de Laplace que obtivemos para
e substituir na expressão acima. Após simplificar e aplicar a Transformada inversa, chegamos a:
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,
(e)
Calcule a transformada de Fourier de
. Após isso, (a) esboce o gráfico do módulo da transformada de Fourier em função de
e (b) esboce o gráfico de fase da transformada de Fourier em função de
.
Determine o plano que passa pelos pontos
e
e que seja tangente ao gráfico de
.
Sendo
, caso seja possível, expanda
em uma série de senos no intervalo
. Justifique a sua resposta.