Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(b) { dy/dt = y - 2z, dz/dt = 5y - z, y(0) = -1 } e z(0) = 2.
R.: y(t) = -sen(3 t) + 5/3 sen(3 t) e z(t) = 2 cos(3t) - 7/3 sen(3t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que liga as derivadas de e com e mesmos. O que queremos fazer é resolver esse sistema usando a Transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace em equações diferenciais e como resolver sistemas de equações algébricas resultantes. Além disso, vamos usar as condições iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. A Transformada de Laplace de uma derivada, como , é dada por , onde é a Transformada de . O mesmo vale para , que vira .
Então, aplicando isso nas duas equações:

Passo 3

Vamos substituir as condições iniciais e nas equações que obtivemos:

Passo 4

Agora, vamos organizar as equações para isolar e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:

Passo 5

Agora temos um sistema de equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e . Para isso, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, multiplicamos a primeira equação por 5 para facilitar a eliminação de :
E mantemos a segunda equação:
Subtraindo a segunda equação da primeira ajustada:
Simplificando:
Combinando termos:
Isso nos dá uma relação entre e . Mas para simplificar, vamos resolver para em termos de usando a primeira equaç��o original:
Substituindo isso na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por para eliminar o denominador:
Simplificando:
Reorganizando:
Factorizando :
Então, isolando :
Podemos reescrever o denominador para facilitar a inversão da Transformada de Laplace:

Passo 6

Agora, precisamos inverter a Transformada de Laplace para encontrar . Observando o denominador, temos uma expressão do tipo , que se assemelha a . Isso sugere que usaremos a forma da Transformada de Laplace que envolve senos e cossenos.
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, temos:
Podemos reescrever o numerador para que fique na forma adequada para aplicação da Transformada inversa:
Então:
Sabemos que:
Aplicando isso, temos:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação que obtivemos anteriormente:
Vamos inverter a Transformada de Laplace que obtivemos para e substituir na expressão acima. Após simplificar e aplicar a Transformada inversa, chegamos a:

Resposta

As soluções do sistema são:

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