Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) y'' + 2y' + 2y = f(t), y(0) = 0, y'(0) = 0,

Passo 1

Resumo do Problema:
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem dada por:
com as condições iniciais:
Conteúdo da Matéria:
Para resolver essa equação, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando lidamos com condições iniciais.
O que Precisamos:
  • Conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.
  • Aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
  • Resolver a equação algébrica resultante para encontrar a transformada de , chamada de .
  • Utilizar a Transformada de Laplace inversa para encontrar .

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial:
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
Agora, usamos as propriedades da Transformada de Laplace para as derivadas:
  • Para :
  • Para :
Substituindo as condições iniciais e :
Portanto, a equação transformada fica:

Passo 3

Isolando :
Vamos fatorar na equação:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Aqui, é a transformada de Laplace da função , que deve ser conhecida ou fornecida para prosseguirmos.

Passo 4

Simplificando o Denominador:
Vamos simplificar o denominador completando o quadrado:
Portanto, a expressão para fica:

Passo 5

Aplicando a Transformada de Laplace Inversa para Encontrar :
Assim que tivermos , podemos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar . A forma da expressão sugere que, após a transformada inversa, envolverá termos exponenciais e funções trigonométricas, dependendo de .
Exemplo:
Se for, por exemplo, , então:
  1. Calculamos .
  2. Substituímos na expressão de :
  3. Utilizamos tabelas de transformadas ou técnicas de frações parciais para encontrar .
Nota:
O resultado final para dependerá da forma específica de . É essencial conhecer para prosseguir com a Transformada inversa.

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada, usando a Transformada de Laplace, é:
Para encontrar , aplicamos a Transformada de Laplace inversa a , considerando a forma específica de .

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