Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e)
,
(e)
Passo 1
Resumo do Problema:
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem dada por:
Estamos lidando com uma equação diferencial de segunda ordem dada por:
com as condições iniciais:
Conteúdo da Matéria:
Para resolver essa equação, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando lidamos com condições iniciais.
Para resolver essa equação, vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando lidamos com condições iniciais.
O que Precisamos:
- Conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.
- Aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial.
- Resolver a equação algébrica resultante para encontrar a transformada de
, chamada de . - Utilizar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
.
Passo 2
Aplicando a Transformada de Laplace na Equação Diferencial:
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em cada termo da equação:
Agora, usamos as propriedades da Transformada de Laplace para as derivadas:
-
Para
: -
Para
:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Portanto, a equação transformada fica:
Passo 3
Isolando
:
Vamos fatorar
na equação:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Aqui,
é a transformada de Laplace da função
, que deve ser conhecida ou fornecida para prosseguirmos.
Passo 4
Simplificando o Denominador:
Vamos simplificar o denominador
completando o quadrado:
Portanto, a expressão para
fica:
Passo 5
Aplicando a Transformada de Laplace Inversa para Encontrar
:
Assim que tivermos
, podemos aplicar a Transformada de Laplace inversa para encontrar
. A forma da expressão sugere que, após a transformada inversa,
envolverá termos exponenciais e funções trigonométricas, dependendo de
.
Exemplo:
Se for, por exemplo,
, então:
Se
- Calculamos
. - Substituímos na expressão de
: - Utilizamos tabelas de transformadas ou técnicas de frações parciais para encontrar
.
Nota:
O resultado final para dependerá da forma específica de
. É essencial conhecer
para prosseguir com a Transformada inversa.
O resultado final para
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada, usando a Transformada de Laplace, é:
Para encontrar
, aplicamos a Transformada de Laplace inversa a
, considerando a forma específica de
.
Exercícios relacionados
Calcule a transformada de Fourier de
. Após isso, (a) esboce o gráfico do módulo da transformada de Fourier em função de
e (b) esboce o gráfico de fase da transformada de Fourier em função de
.
Mostre que
, onde
.
Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(b) e
.
R.: e
(b)
R.:
Determine o plano que passa pelos pontos
e
e que seja tangente ao gráfico de
.