Determine o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços associados às seguintes matrizes:
(f) [ccc1 & -1 & 2 0 & 1 & 0 0 & -2 & 3]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o polinômio característico, os autovalores e os autoespaços da matriz dada. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente de matrizes e autovalores. Para isso, vamos precisar calcular determinantes, resolver equações polinomiais e encontrar os vetores próprios associados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o polinômio característico da matriz. O polinômio característico de uma matriz A = 1 & -1 & 2 0 & 1 & 0 0 & -2 & 3 é dado por A - lambda I = 1 - lambda & -1 & 2 0 & 1 - lambda & 0 0 & -2 & 3 - lambda , onde é um escalar e é a matriz identidade.
A matriz dada é:
Então, fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz para encontrar o polinômio característico:
det(A - lambda I) = (1 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 -2 & 3 - lambda - (-1) cdot det 0 & 0 0 & 3 - lambda + 2 cdot det 0 & 1 - lambda 0 & -2
Calculando cada determinante menor:
det 1 - lambda & 0 -2 & 3 - lambda = (1 - lambda)(3 - lambda) - (0)(-2) = (1 - lambda)(3 - lambda)
det 0 & 0 0 & 3 - lambda = 0
det 0 & 1 - lambda 0 & -2 = 0
Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(1 - lambda)(3 - lambda) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda)

Passo 4

O polinômio característico é:
p(lambda) = (1 - lambda)^2 (3 - lambda)
Para encontrar os autovalores, resolvemos (1 - lambda)^2 (3 - lambda) = 0 :
lambda1 = 1 (de mu
Isso nos dá as soluções:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autoespaços para cada autovalor. O autoespaço associado a um autovalor A - I = 0 & -1 & 2 0 & 0 & 0 0 & -2 & 2 é o conjunto de vetores não nulos - y + 2 z = 0 -2 y + 2 z = 0 que satisfazem - y + 2 z = 0 Rightarrow y = 2 z .
Para v = x 2 z z = x 1 0 0 + z 0 2 1 :
1 0 0
Resolvendo 0 2 1:
Das equações, temos:
A - 3I = -2 & -1 & 2 0 & -2 & 0 0 & -2 & 0
A segunda equação é apenas o dobro da primeira, então temos uma única equação independente:
-2 x - y + 2 z = 0 -2 y = 0 -2 y = 0
-2 x + 2 z = 0 Rightarrow x = z é livre. Então, os vetores próprios têm a forma:
v = z 0 z = z 1 0 1
Portanto, o autoespaço é gerado pelos vetores 1 0 1 e .
Para :
Resolvendo :
Das equações, temos:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
é livre. Então, os vetores próprios têm a forma:
Portanto, o autoespaço é gerado pelo vetor .

Resposta

O polinômio característico é 1 0 0. Os autovalores são 0 2 1 (com multiplicidade 2) e 1 0 1. Os autoespaços associados são:
  • Para : gerado por e .
  • Para : gerado por .

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