Seja T: R^2 R^2 uma transformação linear que admite (3,1) e (-2,1) como autovetores associados aos autovalores -2 e 3 , respectivamente. Calcule T(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear que tem dois autovetores dados: com autovalor -2 e com autovalor 3. Nosso objetivo é descobrir como essa transformação age sobre qualquer vetor . Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovetores, autovalores e como construir uma matriz de transformação a partir deles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se é um autovetor de uma transformação linear com autovalor , isso significa que . Ou seja, ao aplicar no vetor , o resultado é o próprio vetor multiplicado por .

Passo 3

Como temos dois autovetores diferentes, podemos construir a matriz da transformação P = 3 & -2 1 & 1 usando esses vetores. Vamos formar uma matriz D = -2 & 0 0 & 3 cujas colunas são os autovetores:
E uma matriz diagonal com os autovalores correspondentes na diagonal:

Passo 4

A relação entre essas matrizes é . Isso significa que para encontrar a matriz de , a gente precisa calcular , que é a inversa de .

Passo 5

Vamos calcular a inversa de det(P) = (3)(1) - (-2)(1) = 3 + 2 = 5 . Primeiro, encontramos o determinante de P^-1 = 1det(P) 1 & 2 -1 & 3 = 15 1 & 2 -1 & 3 :
Agora, a matriz inversa é dada por:

Passo 6

Agora, multiplicamos as matrizes T = P D P^-1 = 3 & -2 1 & 1 -2 & 0 0 & 3 15 & 25 -15 & 35 , e para encontrar a matriz de :
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 7

Primeiro, multiplicamos P D = 3 times (-2) & -2 times 3 1 times (-2) & 1 times 3 = -6 & -6 -2 & 3 por T = -6 & -6 -2 & 3 15 & 25 -15 & 35 :
Agora, multiplicamos esse resultado por :

Passo 8

Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
T = (-6) times 15 + (-6) times (-15) & (-6) times 25 + (-6) times 35 (-2) times 15 + 3 times (-15) & (-2) times 25 + 3 times 35
Calculando cada elemento:
T = -65 + 65 & -125 - 185 -25 - 35 & -45 + 95 = 0 & -305 -55 & 55 = 0 & -6 -1 & 1

Resposta

Portanto, a transformação linear T(x, y) = 0 & -6 -1 & 1 x y = ( -6y, -x + y ) é dada por:

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