Seja
uma transformação linear que admite
e
como autovetores associados aos autovalores -2 e 3 , respectivamente. Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A gente tem uma transformação linear
que tem dois autovetores dados:
com autovalor -2 e
com autovalor 3. Nosso objetivo é descobrir como essa transformação
age sobre qualquer vetor
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de autovetores, autovalores e como construir uma matriz de transformação a partir deles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Se
é um autovetor de uma transformação linear
com autovalor
, isso significa que
. Ou seja, ao aplicar
no vetor
, o resultado é o próprio vetor
multiplicado por
.
Passo 3
Como temos dois autovetores diferentes, podemos construir a matriz da transformação
usando esses vetores. Vamos formar uma matriz
cujas colunas são os autovetores:
E uma matriz diagonal
com os autovalores correspondentes na diagonal:
Passo 4
A relação entre essas matrizes é
. Isso significa que para encontrar a matriz de
, a gente precisa calcular
, que é a inversa de
.
Passo 5
Vamos calcular a inversa de
. Primeiro, encontramos o determinante de
:
Agora, a matriz inversa
é dada por:
Passo 6
Agora, multiplicamos as matrizes
,
e
para encontrar a matriz de
:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Passo 7
Primeiro, multiplicamos
por
:
Agora, multiplicamos esse resultado por
:
Passo 8
Vamos realizar a multiplicação das matrizes:
Calculando cada elemento:
Resposta
Portanto, a transformação linear
é dada por: