Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para diagonalizar a matriz
. Isso envolve encontrar uma matriz diagonal que seja equivalente à matriz original, usando teoria de matrizes e autovalores. Como a matriz é simétrica (os elementos são iguais em relação à diagonal principal), podemos diagonalizá-la de forma ortogonal, ou seja, usando vetores ortogonais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são valores
que satisfazem a equação
, onde
é a matriz original e
é a matriz identidade.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculamos o determinante:
Passo 4
Explicando o determinante, expandimos:
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
Então, os autovalores são
e
.
Passo 5
Com os autovalores encontrados, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada
, resolvemos
.
Passo 6
Para
:
Resolvendo
, temos
. Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor é
.
Passo 7
Para
:
Resolvendo
, temos
. Podemos escolher
, então
. Assim, um autovetor é
.
Passo 8
Agora, para diagonalização ortogonal, precisamos que os autovetores sejam ortogonais e normalizados (ou seja, com comprimento 1).
Primeiro, verificamos a ortogonalidade. Calculando o produto interno:
Como é zero, os vetores são ortogonais.
Passo 9
Vamos normalizar os autovetores:
Para
:
Então, o vetor normalizado é:
Para
:
Então, o vetor normalizado é:
Passo 10
Montamos a matriz de mudança de base
com os vetores normalizados como colunas:
A matriz diagonal
terá os autovalores na diagonal:
Passo 11
Finalmente, a matriz diagonalizada é dada por:
Onde
é a transposta de
.
Resposta
A matriz
diagonalizada ortogonalmente é: