Diagonalize as matrizes abaixo. Se a matriz for simétrica, diagonalize ortogonalmente.
(a) [ll2 & 2 2 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para diagonalizar a matriz 2 & 2 2 & 2. Isso envolve encontrar uma matriz diagonal que seja equivalente à matriz original, usando teoria de matrizes e autovalores. Como a matriz é simétrica (os elementos são iguais em relação à diagonal principal), podemos diagonalizá-la de forma ortogonal, ou seja, usando vetores ortogonais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são valores que satisfazem a equação , onde é a matriz original e é a matriz identidade.

Passo 3

Calculando A - lambda I = 2 - lambda & 2 2 & 2 - lambda :
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(2 - lambda) - (2)(2) = (2 - lambda)^2 - 4
Agora, calculamos o determinante:

Passo 4

Explicando o determinante, expandimos:
(2 - lambda)^2 - 4 = 4 - 4lambda + lambda^2 - 4 = lambda^2 - 4lambda
Igualando a zero para encontrar os autovalores:
lambda^2 - 4lambda = 0 implies lambda(lambda - 4) = 0
Então, os autovalores são e .

Passo 5

Com os autovalores encontrados, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos .

Passo 6

Para A - 0I = 2 & 2 2 & 2 :
2v1 + 2v2 = 0 2v1 + 2v2 = 0
Resolvendo 1 -1, temos . Podemos escolher , então . Assim, um autovetor é .

Passo 7

Para A - 4I = -2 & 2 2 & -2 :
-2v1 + 2v2 = 0 2v1 - 2v2 = 0
Resolvendo 1 1, temos . Podemos escolher , então . Assim, um autovetor é .

Passo 8

Agora, para diagonalização ortogonal, precisamos que os autovetores sejam ortogonais e normalizados (ou seja, com comprimento 1).
Primeiro, verificamos a ortogonalidade. Calculando o produto interno:
v1 cdot v2 = (1)(1) + (-1)(1) = 1 - 1 = 0
Como é zero, os vetores são ortogonais.

Passo 9

Vamos normalizar os autovetores:
Para 1 -1:
|v1| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Então, o vetor normalizado é:
u1 = 1raiz2 1 -1
Para 1 1:
|v2| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Então, o vetor normalizado é:
u2 = 1raiz2 1 1

Passo 10

Montamos a matriz de mudança de base P = 1raiz2 & 1raiz2 -1raiz2 & 1raiz2 com os vetores normalizados como colunas:
D = 0 & 0 0 & 4
A matriz diagonal terá os autovalores na diagonal:

Passo 11

Finalmente, a matriz diagonalizada é dada por:
A = PDP^T
Onde é a transposta de .

Resposta

A matriz 2 & 2 2 & 2 diagonalizada ortogonalmente é:
A = 1raiz2 & 1raiz2 -1raiz2 & 1raiz2 0 & 0 0 & 4 1raiz2 & -1raiz2 1raiz2 & 1raiz2

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