Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(g) .
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico de um operador linear , além dos autovalores, autovetores e as bases dos auto-espaços correspondentes. O operador está definido no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, polinômios da forma . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar como uma matriz, calcular o polinômio característico dessa matriz e, a partir daí, encontrar os autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2. A base natural é . Vamos ver como age em cada um desses vetores da base.
com , , dá .
: aqui , , , então .
: com , , , temos .
Passo 3
Agora, vamos escrever a matriz de na base . Cada coluna da matriz será a representação de aplicado a um vetor da base, expressa em termos da base.
corresponde ao vetor .
corresponde ao vetor .
corresponde ao vetor .
Então, a matriz de é:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o polinômio característico de . O polinômio característico é dado por , onde é a matriz identidade e é um escalar.
Vamos calcular :
Agora, o determinante:
Então, o polinômio característico é:
Passo 5
Vamos simplificar o polinômio característico:
Mas para facilitar, podemos ignorar o sinal negativo, já que ele não afeta os autovalores:
Passo 6
Agora, encontramos os autovalores resolvendo :
Isso nos dá:
Passo 7
Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso resulta no sistema:
A solução é , e é livre. Então, os autovetores são da forma:
Assim, a base do autoespaço para é e a dimensão é 2.
Para :
Resolvemos :
Isso resulta no sistema:
A solução é e . Então, os autovetores são da forma:
Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.
Resposta
O polinômio característico de é . Os autovalores são (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 1).
Para , uma base dos autoespaços é e a dimensão é 2.