Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(g) .
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico de um operador linear , além dos autovalores, autovetores e as bases dos auto-espaços correspondentes. O operador está definido no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, polinômios da forma . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar como uma matriz, calcular o polinômio característico dessa matriz e, a partir daí, encontrar os autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2. A base natural é . Vamos ver como age em cada um desses vetores da base.
com , , dá .
: aqui , , , então .
: com , , , temos .
Passo 3
Agora, vamos escrever a matriz de na base . Cada coluna da matriz será a representação de aplicado a um vetor da base, expressa em termos da base.
corresponde ao vetor .
corresponde ao vetor .
corresponde ao vetor .
Então, a matriz de é:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o polinômio característico de A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (-lambda) cdot det -lambda & 0 0 & 1 - lambda - 1 cdot det 1 & 0 0 & 1 - lambda + 0 cdot det 1 & -lambda 0 & 0 , onde = (-lambda)(-lambda(1 - lambda)) - 1(1(1 - lambda)) + 0 é a matriz identidade e = lambda^2(1 - lambda) - (1 - lambda) é um escalar.