Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(g) T(a+b x+c x^2)=b+a x+c x^2.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o polinômio característico de um operador linear , além dos autovalores, autovetores e as bases dos auto-espaços correspondentes. O operador está definido no espaço dos polinômios de grau até 2, ou seja, polinômios da forma . Para resolver isso, vamos precisar entender como representar como uma matriz, calcular o polinômio característico dessa matriz e, a partir daí, encontrar os autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma base para o espaço dos polinômios de grau até 2. A base natural é . Vamos ver como age em cada um desses vetores da base.
  • com , , .
  • : aqui , , , então .
  • : com , , , temos .

Passo 3

Agora, vamos escrever a matriz de 0 1 0 na base 1 0 0 . Cada coluna da matriz será a representação de 0 0 1 aplicado a um vetor da base, expressa em termos da base.
  • A = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 corresponde ao vetor .
  • corresponde ao vetor .
  • corresponde ao vetor .
Então, a matriz de é:

Passo 4

O próximo passo é encontrar o polinômio característico de A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda . O polinômio característico é dado por det(A - lambda I) = (-lambda) cdot det -lambda & 0 0 & 1 - lambda - 1 cdot det 1 & 0 0 & 1 - lambda + 0 cdot det 1 & -lambda 0 & 0 , onde = (-lambda)(-lambda(1 - lambda)) - 1(1(1 - lambda)) + 0 é a matriz identidade e = lambda^2(1 - lambda) - (1 - lambda) é um escalar.
Vamos calcular = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) :
= (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda + 1)
Agora, o determinante:
= -(lambda - 1)^2(lambda + 1)
p(lambda) = -(lambda - 1)^2(lambda + 1)
Então, o polinômio característico é:

Passo 5

Vamos simplificar o polinômio característico:
p(lambda) = -(lambda - 1)^2(lambda + 1) = -(lambda^2 - 2lambda + 1)(lambda + 1)
Mas para facilitar, podemos ignorar o sinal negativo, já que ele não afeta os autovalores:
p(lambda) = (lambda - 1)^2(lambda + 1)

Passo 6

Agora, encontramos os autovalores resolvendo (lambda - 1)^2(lambda + 1) = 0 :
lambda = 1 com mu
Isso nos dá:
lambda = -1 com mu

Passo 7

Vamos encontrar os autovetores para cada autovalor.
Para A - I = -1 & 1 & 0 1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 :
Resolvemos - v1 + v2 = 0 v1 - v2 = 0 0 = 0 :
v = t t s = t 1 1 0 + s 0 0 1
Isso resulta no sistema:
1 1 0
A solução é 0 0 1, e A + I = 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 0 & 0 & 2 é livre. Então, os autovetores são da forma:
v1 + v2 = 0 v1 + v2 = 0 2 v3 = 0
Assim, a base do autoespaço para v = t - t 0 = t 1 -1 0 é 1 -1 0 e a dimensão é 2.
Para :
Resolvemos :
Isso resulta no sistema:
A solução é e . Então, os autovetores são da forma:
Portanto, a base do autoespaço para é e a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico de 1 1 0 é 0 0 1. Os autovalores são 1 -1 0 (com multiplicidade 2) e (com multiplicidade 1).
Para , uma base dos autoespaços é e a dimensão é 2.
Para , uma base do autoespaço é e a dimensão é 1.

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