X4. Seja V=P1(R) munido com o produto interno
lang<= f, grang<==integral0^1 f(t) g(t) d t
onde f=a0+a1 x, g=b0+b1 x in V. Determine uma base ortonormal de V a partir da base
beta=x, 1+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o espaço lang<= f, g rang<= = integral0^1 f(t) g(t) dt , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1. O produto interno dado é:
A base inicial que a gente tem é . Para encontrar uma base ortonormal, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizamos os vetores para que tenham comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt na primeira função da base, que é |f1| = raizlang<= f1, f1 rang<= = raizintegral0^1 x cdot x , dx = raizintegral0^1 x^2 dx .
Para começar, precisamos calcular o comprimento de integral0^1 x^2 dx = [ x^33 ]0^1 = 13 usando o produto interno:
|f1| = raiz13 = 1raiz3
Calculando a integral:
e1(x) = f1(x)|f1| = x cdot raiz3
Então,
Agora, vamos normalizar dividindo por seu comprimento:

Passo 3

Agora, vamos ortogonalizar a segunda função da base, proje1 f2 = lang<= f2, e1 rang<=lang<= e1, e1 rang<= e1 , em relação a lang<= f2, e1 rang<= = integral0^1 (1 + x) cdot (raiz3x) dx = raiz3 integral0^1 (x + x^2) dx .
Primeiro, calculamos a projeção de raiz3 [ x^22 + x^33 ]0^1 = raiz3 ( 12 + 13 ) = raiz3 cdot 56 = 5raiz36 sobre proje1 f2 = 5raiz36 cdot e1(x) = 5raiz36 cdot raiz3x = 5 cdot 36 x = 52 x :
u2(x) = f2(x) - proje1 f2 = (1 + x) - 52 x = 1 - 32x
Calculando :
Integrando:
Como (já que está normalizado), a projeção fica:
Agora, subtraímos essa projeção de para tornar ortogonal a :

Passo 4

Agora, vamos normalizar |u2| = raizlang<= u2, u2 rang<= = raizintegral0^1 (1 - 32x)^2 dx para obter (1 - 32x)^2 = 1 - 3x + 94x^2 .
Primeiro, calculamos o comprimento de integral0^1 (1 - 3x + 94x^2) dx = [ x - 32x^2 + 34x^3 ]0^1 = 1 - 32 + 34 = 14 :
|u2| = raiz14 = 12
Expandindo o quadrado:
e2(x) = u2(x)|u2| = (1 - 32x) cdot 2 = 2 - 3x
Integrando:
Então,
Agora, normalizamos :

Resposta

A base ortonormal de raiz3,x,; 2 - 3x é:

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