X4. Seja
munido com o produto interno
onde
. Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o espaço
, que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1. O produto interno dado é:
A base inicial que a gente tem é
. Para encontrar uma base ortonormal, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizamos os vetores para que tenham comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt na primeira função da base, que é
.
Para começar, precisamos calcular o comprimento de
usando o produto interno:
Calculando a integral:
Então,
Agora, vamos normalizar
dividindo por seu comprimento:
Passo 3
Agora, vamos ortogonalizar a segunda função da base,
, em relação a
.
Primeiro, calculamos a projeção de
sobre
:
Calculando
:
Integrando:
Como
(já que
está normalizado), a projeção fica:
Agora, subtraímos essa projeção de
para tornar
ortogonal a
:
Passo 4
Agora, vamos normalizar
para obter
.
Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Expandindo o quadrado:
Integrando:
Então,
Agora, normalizamos
:
Resposta
A base ortonormal de
é:
Exercícios relacionados
Seja
com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de
. Calcule
.
- Seja
munido com o produto interno
Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(e) .
(e)
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(g) .
(g)