X4. Seja munido com o produto interno
onde . Determine uma base ortonormal de a partir da base

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício de Álgebra Linear! A gente precisa encontrar uma base ortonormal para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 1. O produto interno dado é:
A base inicial que a gente tem é . Para encontrar uma base ortonormal, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que transforma uma base qualquer em uma base ortogonal, e depois normalizamos os vetores para que tenham comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt na primeira função da base, que é .
Para começar, precisamos calcular o comprimento de usando o produto interno:
Calculando a integral:
Então,
Agora, vamos normalizar dividindo por seu comprimento:

Passo 3

Agora, vamos ortogonalizar a segunda função da base, , em relação a .
Primeiro, calculamos a projeção de sobre :
Calculando :
Integrando:
Como (já que está normalizado), a projeção fica:
Agora, subtraímos essa projeção de para tornar ortogonal a :

Passo 4

Agora, vamos normalizar para obter .
Primeiro, calculamos o comprimento de :
Expandindo o quadrado:
Integrando:
Então,
Agora, normalizamos :

Resposta

A base ortonormal de é:

Exercícios relacionados

Seja com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de . Calcule .
  1. Seja munido com o produto interno
Determine uma base ortonormal de a partir da base
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(e) .
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(g) .