Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(e) T(x, y)=(2 x+y,-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico do operador linear , descobrir seus autovalores e autovetores, e também determinar uma base e a dimensão dos respectivos autoespaços. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, e autovalores/autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o operador linear A = 2 & 1 0 & -1 na forma de uma matriz. O operador dado é . Para encontrar a matriz associada a , observamos como transforma os vetores da base canônica.
Então, se representarmos por uma matriz , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de p(lambda) = det(A - lambda I) . O polinômio característico é dado por:
A - lambda I = 2 - lambda & 1 0 & -1 - lambda
onde é a matriz identidade.
Calculando :

Passo 4

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-1 - lambda) - (1 cdot 0) = (2 - lambda)(-1 - lambda) :
p(lambda) = (2 - lambda)(-1 - lambda) = - (2 - lambda)(lambda + 1)
Então, o polinômio característico é:
p(lambda) = - (2lambda + 2 - lambda^2 - lambda) ) = lambda^2 - lambda - 2
Podemos simplificar isso para:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica lambda^2 - lambda - 2 = 0 :
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara:
lambda1 = 2 e lambda2 = -1
Então, os autovalores são:

Passo 6

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para A - 2I = 0 & 1 0 & -3 , resolvemos 0 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 0 cdot v1 - 3 cdot v2 = 0 :
1 0
Isso nos dá as equações:
A + I = 3 & 1 0 & 0
A única condição é 3 cdot v1 + 1 cdot v2 = 0 . Assim, v2 = -3v1 pode ser qualquer número. Tomando 1 -3 , temos o autovetor .
Para , resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Podemos resolver para :
Tomando , temos o autovetor .

Passo 7

Agora, vamos determinar os autoespaços e suas bases.
Para E2 = span 1 0 , o autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos de 1 0 :
E-1 = span 1 -3
A base desse autoespaço é 1 -3 e a dimensão é 1.
Para , o autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos de :
A base desse autoespaço é e a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico é 1 0 . Os autovalores são 1 -3 com autovetor e com autovetor . Cada autoespaço tem dimensão 1 e tem como base seus respectivos autovetores.

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