Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico do operador linear
, descobrir seus autovalores e autovetores, e também determinar uma base e a dimensão dos respectivos autoespaços. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, e autovalores/autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar o operador linear
na forma de uma matriz. O operador dado é
. Para encontrar a matriz associada a
, observamos como
transforma os vetores da base canônica.
Então, se representarmos
por uma matriz
, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o polinômio característico de
. O polinômio característico é dado por:
onde
é a matriz identidade.
Calculando
:
Passo 4
Calculando o determinante de
:
Então, o polinômio característico é:
Podemos simplificar isso para:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica
:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:
Passo 6
Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para
, resolvemos
:
Isso nos dá as equações:
A única condição é
. Assim,
pode ser qualquer número. Tomando
, temos o autovetor
.
Para
, resolvemos
:
Isso nos dá a equação:
Podemos resolver para
:
Tomando
, temos o autovetor
.
Passo 7
Agora, vamos determinar os autoespaços e suas bases.
Para
, o autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos de
:
A base desse autoespaço é
e a dimensão é 1.
Para
, o autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos de
:
A base desse autoespaço é
e a dimensão é 1.
Resposta
O polinômio característico é
. Os autovalores são
com autovetor
e
com autovetor
. Cada autoespaço tem dimensão 1 e tem como base seus respectivos autovetores.
Exercícios relacionados
X4. Seja
munido com o produto interno
onde
. Determine uma base ortonormal de
a partir da base
Seja
com o produto interno usual. Mostre que
é uma base ortogonal de
. Calcule
.
Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(g) .
(g)
Dados
e
, determine:
a)
a)