Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio característico do operador linear , descobrir seus autovalores e autovetores, e também determinar uma base e a dimensão dos respectivos autoespaços. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como matrizes, determinantes, e autovalores/autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o operador linear na forma de uma matriz. O operador dado é . Para encontrar a matriz associada a , observamos como transforma os vetores da base canônica.
Então, se representarmos por uma matriz , temos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o polinômio característico de . O polinômio característico é dado por:
onde é a matriz identidade.
Calculando :

Passo 4

Calculando o determinante de :
Então, o polinômio característico é:
Podemos simplificar isso para:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores resolvendo a equação característica :
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver pela fórmula de Bhaskara:
Então, os autovalores são:

Passo 6

Com os autovalores em mãos, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada um.
Para , resolvemos :
Isso nos dá as equações:
A única condição é . Assim, pode ser qualquer número. Tomando , temos o autovetor .
Para , resolvemos :
Isso nos dá a equação:
Podemos resolver para :
Tomando , temos o autovetor .

Passo 7

Agora, vamos determinar os autoespaços e suas bases.
Para , o autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos de :
A base desse autoespaço é e a dimensão é 1.
Para , o autoespaço é o conjunto de todos os múltiplos de :
A base desse autoespaço é e a dimensão é 1.

Resposta

O polinômio característico é . Os autovalores são com autovetor e com autovetor . Cada autoespaço tem dimensão 1 e tem como base seus respectivos autovetores.

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Determine o polinômio característico dos operadores lineares, encontre seus autovalores e autovetores correspondentes e dar uma base e a dimensão dos respectivos auto-espaços.
(g) .
Dados e , determine:
a)