Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
c)
;
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem para a função
no ponto
. O que isso significa é que vamos aproximar a função por meio de polinômios que consideram as derivadas da função até a primeira e segunda ordem nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer o polinômio de Taylor de primeira ordem. Esse polinômio é basicamente uma aproximação linear da função em torno do ponto dado. A fórmula geral para uma função de várias variáveis é:
Aqui,
é o ponto de expansão, que no nosso caso é
.
Passo 3
Vamos calcular cada termo necessário:
-
Valor da função no ponto:
-
Derivadas parciais no ponto:
-
-
Montando o polinômio de primeira ordem:
Passo 4
Agora, vamos para o polinômio de Taylor de segunda ordem. Esse polinômio considera também as derivadas de segunda ordem, o que nos dá uma aproximação mais precisa da função perto do ponto.
A fórmula geral é:
Vamos calcular cada segunda derivada no ponto.
-
Segundas derivadas parciais:
-
-
(pois não depende de ) -
(pois não depende de ) -
-
(pois não depende de ) -
-
-
Montando o polinômio de segunda ordem:Simplificando:Expandindo o termo quadrático:
Resposta
O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é: