Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
c) f(x, y, z) = cos(y^2) - x^3 + 3*x - z^2 em (0, 0, 1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o polinômio de Taylor de primeira e segunda ordem para a função no ponto . O que isso significa é que vamos aproximar a função por meio de polinômios que consideram as derivadas da função até a primeira e segunda ordem nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer o polinômio de Taylor de primeira ordem. Esse polinômio é basicamente uma aproximação linear da função em torno do ponto dado. A fórmula geral para uma função de várias variáveis é:
Aqui, é o ponto de expansão, que no nosso caso é .

Passo 3

Vamos calcular cada termo necessário:
  1. Valor da função no ponto:
  2. Derivadas parciais no ponto:
  3. Montando o polinômio de primeira ordem:

Passo 4

Agora, vamos para o polinômio de Taylor de segunda ordem. Esse polinômio considera também as derivadas de segunda ordem, o que nos dá uma aproximação mais precisa da função perto do ponto.
A fórmula geral é:
Vamos calcular cada segunda derivada no ponto.
  1. Segundas derivadas parciais:
    • (pois não depende de )
    • (pois não depende de )
    • (pois não depende de )
  2. Montando o polinômio de segunda ordem:
    Simplificando:
    Expandindo o termo quadrático:

Resposta

O polinômio de Taylor de primeira ordem é:
E o polinômio de Taylor de segunda ordem é:

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