Um equipamento para produção de oxigênio usa o processo de eletrólise da água e é regida
pela equação
onde
é a temperatura, medido em graus centigrados, e
é a quantidade de água
, medida em
toneladas, usados no processo de eletrólise da água.
Determine as configurações de produção ótima:
ii) Classifique os pontos críticos de
. Qual é quantidade de água e de calor ideais na produção
de oxigênio? Qual é a quantidade de oxigênio produzido?
pela equação
toneladas, usados no processo de eletrólise da água.
Determine as configurações de produção ótima:
ii) Classifique os pontos críticos de
de oxigênio? Qual é a quantidade de oxigênio produzido?
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função
que representa a produção de oxigênio em função da temperatura
(em graus Celsius) e da quantidade de água
(em toneladas). Nosso objetivo é encontrar as configurações ótimas de produção, ou seja, os valores de
e
que maximizam a produção de oxigênio. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente a busca por pontos críticos da função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis são iguais a zero. Isso nos ajudará a identificar possíveis máximos, mínimos ou pontos de sela na função.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para
:
Para
:
Resolvendo essa equação quadrática, temos:
Passo 5
Assim, encontramos dois pontos críticos:
Agora precisamos classificar esses pontos para entender se são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 6
Para classificar os pontos críticos, usamos a Matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as derivadas segundas necessárias:
A partir disso, o determinante da Hessiana
é:
Passo 7
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
, este ponto é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, este ponto é um máximo local.
Passo 8
Portanto, o único ponto que representa uma configuração ótima de produção é
, onde
C e
toneladas.
Passo 9
Agora, vamos calcular a quantidade de oxigênio produzida nesse ponto ótimo substituindo
e
na função
:
Resposta
As configurações ótimas para a produção de oxigênio são uma temperatura de
C e uma quantidade de água de
toneladas. Com essas condições, a quantidade de oxigênio produzida é aproximadamente
unidades.
Exercícios relacionados
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
a) em
;
a)
Determine os pontos críticos e classifique-os em máximo, minimo ou ponto de sela
c) .
c)
Determine o ponto de máximo da função
, na curva obtida pela intersecção os planos
e
.
Obs: Resolva o sistema definido pelas equações
Obs: Resolva o sistema definido pelas equações
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
c) ;
c)