Um equipamento para produção de oxigênio usa o processo de eletrólise da água e é regida
pela equação
O(T, w) = w^3/3 - 3w^2 + 8w - T^2 + 800T
onde T é a temperatura, medido em graus centigrados, e w é a quantidade de água H2O, medida em
toneladas, usados no processo de eletrólise da água.
Determine as configurações de produção ótima:
ii) Classifique os pontos críticos de O(T, w). Qual é quantidade de água e de calor ideais na produção
de oxigênio? Qual é a quantidade de oxigênio produzido?

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função que representa a produção de oxigênio em função da temperatura (em graus Celsius) e da quantidade de água (em toneladas). Nosso objetivo é encontrar as configurações ótimas de produção, ou seja, os valores de e que maximizam a produção de oxigênio. Para isso, vamos precisar usar cálculo multivariável, especificamente a busca por pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos críticos da função . Pontos críticos são aqueles onde as derivadas parciais da função em relação a todas as suas variáveis são iguais a zero. Isso nos ajudará a identificar possíveis máximos, mínimos ou pontos de sela na função.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial em relação a é:
A derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, igualamos essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para :
Para :
Resolvendo essa equação quadrática, temos:

Passo 5

Assim, encontramos dois pontos críticos:
Agora precisamos classificar esses pontos para entender se são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 6

Para classificar os pontos críticos, usamos a Matriz Hessiana. Primeiro, calculamos as derivadas segundas necessárias:
A partir disso, o determinante da Hessiana é:

Passo 7

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , este ponto é um ponto de sela.
Para :
Como e , este ponto é um máximo local.

Passo 8

Portanto, o único ponto que representa uma configuração ótima de produção é , onde C e toneladas.

Passo 9

Agora, vamos calcular a quantidade de oxigênio produzida nesse ponto ótimo substituindo e na função :

Resposta

As configurações ótimas para a produção de oxigênio são uma temperatura de C e uma quantidade de água de toneladas. Com essas condições, a quantidade de oxigênio produzida é aproximadamente unidades.

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