Determine o ponto de máximo da função
, na curva obtida pela intersecção os planos
e
.
Obs: Resolva o sistema definido pelas equações
Obs: Resolva o sistema definido pelas equações
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto de máximo da função
na curva formada pela intersecção dos planos
e
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a certas restrições. Vamos precisar calcular os gradientes das funções envolvidas e resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as restrições do problema. Temos duas equações lineares que definem a curva de intersecção:
Essas são as nossas restrições
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente da função que queremos maximizar,
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Também vamos calcular os gradientes das restrições
e
:
Passo 4
De acordo com o método dos multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o sistema onde o gradiente de
é uma combinação linear dos gradientes das restrições
e
:
Isso resulta no seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, subtraia a equação (2) da equação (1):
Isso nos dá:
Agora, some as equações (1) e (3):
Substituindo
da equação (4):
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos usar as restrições originais para simplificar as coisas. Temos:
Subtraindo a equação (7) da equação (6):
Agora que temos
, podemos substituir de volta nas equações (6) e (7) para encontrar
e
.
Somando as equações (6) e (7):
Passo 7
Com
e
, podemos expressar
em termos de
:
Agora, substituímos
e
na função
:
Passo 8
Para encontrar o valor de
que maximiza
, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Então,
.
Passo 9
Agora que temos
, usamos a equação (8) para encontrar
:
E já tínhamos
.
Resposta
O ponto de máximo da função
na curva de intersecção dos planos é
.
Exercícios relacionados
Um equipamento para produção de oxigênio usa o processo de eletrólise da água e é regida
pela equação
pela equação
onde
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, medida em
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a) em
;
a)
Determine o polinômio de Taylor de primeira ordem e de segunda ordem das funções nos pontos dados.
c) ;
c)
Calcule: