Determine o ponto de máximo da função f(x, y, z) = x * y * z, na curva obtida pela intersecção os planos x + y + z = 28 e x - y + z = 8.
Obs: Resolva o sistema definido pelas equações
nabla f(x, y, z) = lambda nabla g(x, y, z) + mu nabla h(x, y, z) g(x, y, z) = k e h(x, y, z) = c

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto de máximo da função na curva formada pela intersecção dos planos e . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que nos ajuda a otimizar uma função sujeita a certas restrições. Vamos precisar calcular os gradientes das funções envolvidas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as restrições do problema. Temos duas equações lineares que definem a curva de intersecção:
Essas são as nossas restrições e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente da função que queremos maximizar, . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável:
Também vamos calcular os gradientes das restrições e :

Passo 4

De acordo com o método dos multiplicadores de Lagrange, devemos resolver o sistema onde o gradiente de é uma combinação linear dos gradientes das restrições e :
Isso resulta no seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema. Primeiro, subtraia a equação (2) da equação (1):
Isso nos dá:
Agora, some as equações (1) e (3):
Substituindo da equação (4):
Isolando :

Passo 6

Agora, vamos usar as restrições originais para simplificar as coisas. Temos:
Subtraindo a equação (7) da equação (6):
Agora que temos , podemos substituir de volta nas equações (6) e (7) para encontrar e .
Somando as equações (6) e (7):

Passo 7

Com e , podemos expressar em termos de :
Agora, substituímos e na função :

Passo 8

Para encontrar o valor de que maximiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, .

Passo 9

Agora que temos , usamos a equação (8) para encontrar :
E já tínhamos .

Resposta

O ponto de máximo da função na curva de intersecção dos planos é .

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