Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão envolve cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e calcular os limites de integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral é dada por:
Isso nos mostra que estamos integrando sobre uma região tridimensional. Para facilitar, vamos converter essa integral para coordenadas polares, já que os limites em x e y envolvem , o que sugere simetria circular.
Passo 3
Nas coordenadas polares, temos:
O elemento de área vira
Vamos reescrever os limites em termos de e . O limite de de a e de de a descreve um círculo de raio . Então, vai de 0 a e vai de 0 a .
Passo 4
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
Aqui, os limites de são de a , que vêm da parte superior e inferior da região que estamos integrando.
Passo 5
Vamos integrar em relação a primeiro. A integral de de a é simplesmente . Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral: