Considere a integral tripla iterada
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 d z d y d x
Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão envolve cálculo multivariável, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como mudar para coordenadas polares e calcular os limites de integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os limites de integração. A integral é dada por:
integral-raiz2^raiz2 integral-raiz2-x^2^raiz2-x^2 integralx^2+y^2^4-x^2-y^2 dz , dy , dx
Isso nos mostra que estamos integrando sobre uma região tridimensional. Para facilitar, vamos converter essa integral para coordenadas polares, já que os limites em x e y envolvem x^2 + y^2, o que sugere simetria circular.

Passo 3

Nas coordenadas polares, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • O elemento de área dx , dy vira r , dr , dtheta
Vamos reescrever os limites em termos de r e theta. O limite de x de -raiz2 a raiz2 e de y de -raiz2 - x^2 a raiz2 - x^2 descreve um círculo de raio raiz2. Então, r vai de 0 a raiz2 e theta vai de 0 a 2pi.

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares:
integral0^2pi integral0^raiz2 integralr^2^4 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, os limites de z são de r^2 a 4 - r^2, que vêm da parte superior e inferior da região que estamos integrando.

Passo 5

Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral de dz de r^2 a 4 - r^2 é simplesmente (4 - r^2) - r^2 = 4 - 2r^2. Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^raiz2 (4 - 2r^2) cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(4 - 2r^2) cdot r = 4r - 2r^3
Então, a integral agora é:
integral0^2pi integral0^raiz2 (4r - 2r^3) , dr , dtheta

Passo 7

Vamos integrar em relação a r:
integral0^raiz2 (4r - 2r^3) , dr = [2r^2 - 24r^4]0^raiz2 = [2(raiz2)^2 - 12(raiz2)^4] - 0
Calculando:
2(2) - 12(4) = 4 - 2 = 2

Passo 8

Agora, a integral ficou:
integral0^2pi 2 , dtheta = 2 cdot theta |0^2pi = 2 cdot (2pi - 0) = 4pi

Resposta

A integral tripla vale 4pi.

Exercícios relacionados