Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração de forma que a primeira integral seja em relação a y para
integral0^1 integral0^1 integral0^x^2+y^2 f(x, y, z) d z d y d x
e para
integral0^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integralraizx^2-y^2^1 f(x, y, z) d z d y d x

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para esboçar a região de integração e inverter a ordem das integrais tripla. A ideia é mudar a ordem de integração para que a primeira integral seja em relação a . Vamos precisar entender bem os limites de integração atuais e como eles definem a região no espaço tridimensional. Também vamos usar um pouco de geometria para visualizar essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira integral:
integral0^1 integral0^1 integral0^x^2+y^2 f(x, y, z) , dz , dy , dx
Aqui, os limites são:
  • varia de 0 a 1
  • Para cada , varia de 0 a 1
  • Para cada e , varia de 0 até
Isso significa que estamos integrando a função dentro de uma região onde e estão no quadrado e vai de 0 até a superfície .

Passo 3

Vamos esboçar essa região. No espaço , temos um cubo com e entre 0 e 1. A função é uma parábola que se abre para cima. Portanto, a região de integração está abaixo dessa superfície parabólica e acima do plano .

Passo 4

Agora, queremos inverter a ordem de integração para que a primeira integral seja em relação a . Isso significa que vamos reescrever a integral com a ordem ou outra que inicie com .
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Vamos identificar para cada variável como elas se relacionam na região.

Passo 5

Observando os limites originais:
  • vai de 0 a 1
  • vai de 0 a 1
  • vai de 0 a
Queremos que a primeira integral seja em . Vamos reorganizar:
Primeiro, para cada ponto , determinamos os limites de . A condição pode ser rearranjada para . Porém, precisamos também considerar os limites de que vão de 0 a 1.

Passo 6

Para definir os novos limites, vamos considerar diferentes casos:
  1. Quando está fixo entre 0 e 1:
    • varia de 0 a . Como vai de 0 a 1, o máximo de é .
  2. Para cada , varia de até 1, desde que .
  3. Para : Nesse caso, varia de 0 a 1, porque não é real.

Passo 7

Então, os novos limites ficam:
  • de 0 a 1
  • Para cada , de 0 a
  • Para cada e :
    • Se , varia de a 1
    • Se , varia de 0 a 1

Passo 8

Vamos agora escrever a integral com a ordem invertida, começando por integral0^1 integral0^x^2+1 integralraizz - x^2^1 f(x, y, z) , dy , dz , dx :
Isso inverte a ordem das integrais de modo que a primeira integração é com respeito a .

Resposta

A ordem de integração invertida, com a primeira integral em relação a integral0^1 integral0^x^2+1 integralraizz - x^2^1 f(x, y, z) , dy , dz , dx , é dada por:

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