Esboce a região de integração e inverta a ordem de integração de forma que a primeira integral seja em relação a
para
e para
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para esboçar a região de integração e inverter a ordem das integrais tripla. A ideia é mudar a ordem de integração para que a primeira integral seja em relação a
. Vamos precisar entender bem os limites de integração atuais e como eles definem a região no espaço tridimensional. Também vamos usar um pouco de geometria para visualizar essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira integral:
Aqui, os limites são:
-
varia de 0 a 1 - Para cada
, varia de 0 a 1 - Para cada
e , varia de 0 até
Isso significa que estamos integrando a função
dentro de uma região onde
e
estão no quadrado
e
vai de 0 até a superfície
.
Passo 3
Vamos esboçar essa região. No espaço
, temos um cubo com
e
entre 0 e 1. A função
é uma parábola que se abre para cima. Portanto, a região de integração está abaixo dessa superfície parabólica e acima do plano
.
Passo 4
Agora, queremos inverter a ordem de integração para que a primeira integral seja em relação a
. Isso significa que vamos reescrever a integral com a ordem
ou outra que inicie com
.
Para isso, precisamos determinar os novos limites de integração. Vamos identificar para cada variável como elas se relacionam na região.
Passo 5
Observando os limites originais:
-
vai de 0 a 1 -
vai de 0 a 1 -
vai de 0 a
Queremos que a primeira integral seja em
. Vamos reorganizar:
Primeiro, para cada ponto
, determinamos os limites de
. A condição
pode ser rearranjada para
. Porém, precisamos também considerar os limites de
que vão de 0 a 1.
Passo 6
Para definir os novos limites, vamos considerar diferentes casos:
-
Quando
está fixo entre 0 e 1: -
varia de 0 a . Como vai de 0 a 1, o máximo de é .
-
-
Para cada
, varia de até 1, desde que . -
Para
: Nesse caso, varia de 0 a 1, porque não é real.
Passo 7
Então, os novos limites ficam:
-
de 0 a 1 - Para cada
, de 0 a - Para cada
e : - Se
, varia de a 1 - Se
, varia de 0 a 1
- Se
Passo 8
Vamos agora escrever a integral com a ordem invertida, começando por
:
Isso inverte a ordem das integrais de modo que a primeira integração é com respeito a
.
Resposta
A ordem de integração invertida, com a primeira integral em relação a
, é dada por: