Determine o ponto pertencente ao plano que contém e e tal que com e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do ponto D(x, y, 3) que está em um plano determinado pelos pontos A(1, 2, -1), B(0, 1, 5) e C(-1, 2, 1). Além disso, temos uma condição envolvendo vetores e um produto misto que deve ser igual a 6. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço, vetores e produtos mistos. Vamos precisar calcular vetores entre os pontos, determinar a equação do plano e usar o produto misto para encontrar as coordenadas de D.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação do plano que contém os pontos A, B e C. Para isso, precisamos de dois vetores que estão no plano. Vamos calcular os vetores AB e AC:
Passo 3
Agora, para encontrar uma equação do plano, precisamos do vetor normal ao plano, que é o produto vetorial de AB e AC. Vamos calcular :
n = (1, -5, 1)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
Passo 4
Com o vetor normal n cdot (r - A) = 0 e o ponto A, a equação do plano é dada por:
1(x - 1) -5(y - 2) +1(z + 1) = 0
Onde x - 1 -5y +10 + z +1 = 0 x -5y + z +10 = 0 . Substituindo os valores:
x -5y + z +10 = 0
Simplificando:
Então, a equação do plano é:
Passo 5
Agora, sabemos que o ponto D(x, y, 3) está nesse plano. Vamos substituir z = 3 na equação do plano:
x -5y + 3 +10 = 0 x -5y +13 = 0 x = 5y -13
Portanto, temos que x = 5y -13.
Passo 6
A próxima parte do enunciado envolve o produto misto:
(DB, u, DB + u + v) = 6
Sabemos que:
u = (2, 1, 1) v = (1, 1, -1)
E B(0, 1, 5), então DB + u + v = (-x +2 +1, 1 - y +1 +1, 2 +1 -1) = (-x +3, 3 - y, 2) = -x & 2 & -x +3 1 - y & 1 & 3 - y 2 & 1 & 2 = 6 = (0 - x, 1 - y, 5 - 3) = (-x, 1 - y, 2)