Determine o ponto D(x, y, 3) pertencente ao plano que contém A(1,2,-1), B(0,1,5) e C(- 1,2,1) e tal que (barD B, u, D B+u+v)=6 com v=(1,1,-1) e u=(2,1,1). D(2,1,3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do ponto D(x, y, 3) que está em um plano determinado pelos pontos A(1, 2, -1), B(0, 1, 5) e C(-1, 2, 1). Além disso, temos uma condição envolvendo vetores e um produto misto que deve ser igual a 6. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço, vetores e produtos mistos. Vamos precisar calcular vetores entre os pontos, determinar a equação do plano e usar o produto misto para encontrar as coordenadas de D.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a equação do plano que contém os pontos A, B e C. Para isso, precisamos de dois vetores que estão no plano. Vamos calcular os vetores AB e AC:
AB = B - A = (0-1, 1-2, 5-(-1)) = (-1, -1, 6)
AC = C - A = (-1-1, 2-2, 1-(-1)) = (-2, 0, 2)

Passo 3

Agora, para encontrar uma equação do plano, precisamos do vetor normal ao plano, que é o produto vetorial de AB e AC. Vamos calcular n = i & j & k -1 & -1 & 6 -2 & 0 & 2 = i((-1)(2) - (6)(0)) - j((-1)(2) - (6)(-2)) + k((-1)(0) - (-1)(-2)) :
n = i(-2) - j(-2 - (-12)) + k(0 - 2) = (-2, 10, -2)
n = (1, -5, 1)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:

Passo 4

Com o vetor normal n cdot (r - A) = 0 e o ponto A, a equação do plano é dada por:
1(x - 1) -5(y - 2) +1(z + 1) = 0
Onde x - 1 -5y +10 + z +1 = 0 x -5y + z +10 = 0 . Substituindo os valores:
x -5y + z +10 = 0
Simplificando:
Então, a equação do plano é:

Passo 5

Agora, sabemos que o ponto D(x, y, 3) está nesse plano. Vamos substituir z = 3 na equação do plano:
x -5y + 3 +10 = 0 x -5y +13 = 0 x = 5y -13
Portanto, temos que x = 5y -13.

Passo 6

A próxima parte do enunciado envolve o produto misto:
(DB, u, DB + u + v) = 6
Sabemos que:
u = (2, 1, 1) v = (1, 1, -1)
E B(0, 1, 5), então DB + u + v = (-x +2 +1, 1 - y +1 +1, 2 +1 -1) = (-x +3, 3 - y, 2) = -x & 2 & -x +3 1 - y & 1 & 3 - y 2 & 1 & 2 = 6 = (0 - x, 1 - y, 5 - 3) = (-x, 1 - y, 2)
Agora, vamos calcular (-x) cdot 1 & 3 - y 1 & 2 - 2 cdot 1 - y & 3 - y 2 & 2 + (-x +3) cdot 1 - y & 1 2 & 1 = 6 :
(-x)(1 cdot 2 - (3 - y) cdot 1) = (-x)(2 -3 + y) = (-x)(y -1)
O produto misto -2((1 - y) cdot 2 - (3 - y) cdot 2) = -2(2 - 2y -6 +2y) = -2(-4) = 8 é o determinante da matriz formada por esses vetores:
(-x +3)((1 - y) cdot 1 -1 cdot 2) = (-x +3)(1 - y -2) = (-x +3)(-y -1)
Calculando o determinante:
(-x)(y -1) +8 + (-x +3)(-y -1) = 6
Calculando cada menor:
-xy +x +8 +xy +x -3y -3 = 6
2x -3y +5 = 6 2x -3y =1
2(5y -13) -3y =1 10y -26 -3y =1 7y =27 y= 277
Somando tudo:
x=5(277) -13 = 1357 - 917 = 447
Distribuindo:
Simplificando:
Lembrando que já temos , substituindo:
Então,

Resposta

O ponto D é .

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