Determine o ponto pertencente ao plano que contém e e tal que com e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas do ponto D(x, y, 3) que está em um plano determinado pelos pontos A(1, 2, -1), B(0, 1, 5) e C(-1, 2, 1). Além disso, temos uma condição envolvendo vetores e um produto misto que deve ser igual a 6. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Geometria Analítica, especificamente sobre planos no espaço, vetores e produtos mistos. Vamos precisar calcular vetores entre os pontos, determinar a equação do plano e usar o produto misto para encontrar as coordenadas de D.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a equação do plano que contém os pontos A, B e C. Para isso, precisamos de dois vetores que estão no plano. Vamos calcular os vetores AB e AC:
Passo 3
Agora, para encontrar uma equação do plano, precisamos do vetor normal ao plano, que é o produto vetorial de AB e AC. Vamos calcular :
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -2:
Passo 4
Com o vetor normal e o ponto A, a equação do plano é dada por:
Onde . Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação do plano é:
Passo 5
Agora, sabemos que o ponto D(x, y, 3) está nesse plano. Vamos substituir z = 3 na equação do plano:
Portanto, temos que x = 5y -13.
Passo 6
A próxima parte do enunciado envolve o produto misto:
Sabemos que:
E B(0, 1, 5), então = = (0 - x, 1 - y, 5 - 3) = (-x, 1 - y, 2)
Agora, vamos calcular :
O produto misto é o determinante da matriz formada por esses vetores: