Calcule o vetor projeção do vetor u=(4,-3,2) sobre o vetor unitário v que forma com os eixos coordenados ângulos agudos iguais. (1,1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a projeção do vetor u = (4, -3, 2) sobre um vetor unitário v que faz ângulos iguais e agudos com os eixos coordenados. Isso significa que v está na direção igual dos três eixos, tipo (1,1,1), mas como é unitário, a gente precisa normalizar ele. Vamos precisar usar a fórmula de projeção de vetores para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que v seja realmente um vetor unitário. Um vetor é unitário se o seu comprimento (ou norma) for 1. A norma de v = (1,1,1) é:
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3
Então, para tornar v unitário, a gente divide cada componente por raiz3:
v = (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3)

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da projeção de um vetor u sobre outro vetor unitário v:
Projv u = (u cdot v) v
Aqui, u cdot v é o produto escalar entre u e v.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar u cdot v:
u cdot v = 4 cdot 1raiz3 + (-3) cdot 1raiz3 + 2 cdot 1raiz3 = 4 - 3 + 2raiz3 = 3raiz3 = raiz3

Passo 5

Agora, multiplicamos esse escalar pelo vetor v:
Projv u = raiz3 cdot (1raiz3, 1raiz3, 1raiz3) = (1, 1, 1)

Resposta

A projeção do vetor u = (4, -3, 2) sobre o vetor unitário v é boxed(1, 1, 1).

Exercícios relacionados