Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
3 x+6 y & =5 x+4 y-2 z & =2 x+2 y & =1

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações lineares pra resolver. Vamos usar três métodos diferentes: escalonamento (que é tipo organizar as equações pra facilitar), método da inversa (usando matrizes) e o método de Cramer (usando determinantes). Pra isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra linear, como manipulação de equações, matrizes e determinantes.

Passo 2

Método de Escalonamento
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada:
3 & 6 & 0 & | & 5 1 & 4 & -2 & | & 2 1 & 2 & 0 & | & 1
Vamos usar operações com linhas pra chegar numa forma triangular.
  1. Normalizar a primeira linha: Vamos deixar o primeiro elemento igual a 1 dividindo a primeira linha por 3.
1 & 2 & 0 & | & 53 1 & 4 & -2 & | & 2 1 & 2 & 0 & | & 1
  1. Zerar os elementos abaixo do primeiro 1:
    • Subtrair a primeira linha da segunda e terceira.
1 & 2 & 0 & | & 53 0 & 2 & -2 & | & 13 0 & 0 & 0 & | & -23
Aqui vemos que a terceira equação resultou em , o que é impossível. Isso significa que o sistema não tem solução.

Passo 3

Método da Inversa
Vamos montar a matriz dos coeficientes A = 3 & 6 & 0 1 & 4 & -2 1 & 2 & 0 , B = 5 2 1 e o vetor dos termos independentes det(A) = 3 times (4 times 0 - (-2) times 2) - 6 times (1 times 0 - (-2) times 1) + 0 times (1 times 2 - 4 times 1) = 3 times (0 + 4) - 6 times (0 + 2) + 0 = 12 - 12 + 0 = 0 :
Para usar o método da inversa, precisamos que a matriz seja invertível, ou seja, que seu determinante seja diferente de zero.
Calculando o determinante de :
Como o determinante é zero, a matriz não é invertível, então o método da inversa não pode ser aplicado. Isso confirma que o sistema não tem solução.

Passo 4

Método de Cramer
O método de Cramer também requer que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. Já vimos que , portanto, o método de Cramer não pode ser aplicado aqui. Isso reforça que o sistema não possui solução.

Resposta

O sistema de equações não possui solução, pois ele é inconsistente.

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