Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que a gente tem aqui. O sistema tem três equações com três incógnitas: , e . A gente vai usar três métodos diferentes para achar as soluções: Método de Escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss), Método da Inversa e Método de Cramer. Vamos precisar entender como manipular matrizes e resolver determinantes. Vamos lá!
Passo 2
Método de Escalonamento:
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos resolver uma incógnita de cada vez.
Passo 3
Passo 1 do Escalonamento:
Vamos usar a primeira linha para eliminar o das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
Para a linha 3:
A matriz fica:
Passo 4
Passo 2 do Escalonamento:
Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o da linha 3.
A matriz agora está assim:
Passo 5
Passo 3 do Escalonamento:
Vamos resolver a partir da última linha para encontrar :
Passo 6
Passo 4 do Escalonamento:
Agora, substituímos na segunda linha para encontrar :
Passo 7
Passo 5 do Escalonamento:
Por fim, substituímos e na primeira linha para encontrar :
Passo 8
Método da Inversa:
Vamos formar a matriz dos coeficientes e a matriz coluna dos termos constantes :
Primeiro, precisamos calcular o determinante de para garantir que a inversa existe.
Passo 9
Cálculo do Determinante de :
Como , a matriz inversa existe.
Passo 10
Cálculo da Inversa de :
A inversa de uma matriz é dada por , onde é a adjunta de . Vamos calcular a adjunta de :
Então,
Passo 11
Encontrando usando :
Vamos multiplicar as matrizes:
Para :
Para :
Para :
Passo 12
Método de Cramer:
Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz dos coeficientes , que já calculamos anteriormente: .
Para encontrar , e , vamos substituir as colunas correspondentes pelos termos constantes e calcular os determinantes.