Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
l3 x1+6 x3=1 2 x1+5 x2+6 x3=3 4 x1-5 x2-9 x3=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que a gente tem aqui. O sistema tem três equações com três incógnitas: , e . A gente vai usar três métodos diferentes para achar as soluções: Método de Escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss), Método da Inversa e Método de Cramer. Vamos precisar entender como manipular matrizes e resolver determinantes. Vamos lá!

Passo 2

Método de Escalonamento:
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
3 & 0 & 6 & | & 1 2 & 5 & 6 & | & 3 4 & -5 & -9 & | & 4
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada, onde conseguimos resolver uma incógnita de cada vez.

Passo 3

Passo 1 do Escalonamento:
Vamos usar a primeira linha para eliminar o L2 = L2 - (23) times L1 das linhas 2 e 3.
Para a linha 2:
L2 = [2 - 23times3, 5 - 23times0, 6 - 23times6 | 3 - 23times1] = [0, 5, 2 | 73]
L3 = L3 - (43) times L1
Para a linha 3:
L3 = [4 - 43times3, -5 - 43times0, -9 - 43times6 | 4 - 43times1] = [0, -5, -17 | 83]
3 & 0 & 6 & | & 1 0 & 5 & 2 & | & 73 0 & -5 & -17 & | & 83
A matriz fica:

Passo 4

Passo 2 do Escalonamento:
Agora, vamos usar a segunda linha para eliminar o L3 = L3 + L2 da linha 3.
L3 = [0 + 0, -5 + 5, -17 + 2 | 83 + 73] = [0, 0, -15 | 5]
3 & 0 & 6 & | & 1 0 & 5 & 2 & | & 73 0 & 0 & -15 & | & 5
A matriz agora está assim:

Passo 5

Passo 3 do Escalonamento:
Vamos resolver a partir da última linha para encontrar -15x3 = 5 Rightarrow x3 = 5-15 = -13 :

Passo 6

Passo 4 do Escalonamento:
Agora, substituímos 5x2 + 2(-13) = 73 na segunda linha para encontrar 5x2 - 23 = 73 :
5x2 = 73 + 23 = 3
x2 = 35

Passo 7

Passo 5 do Escalonamento:
Por fim, substituímos 3x1 + 6(-13) = 1 e 3x1 - 2 = 1 na primeira linha para encontrar 3x1 = 3 :
x1 = 1

Passo 8

Método da Inversa:
Vamos formar a matriz dos coeficientes A = 3 & 0 & 6 2 & 5 & 6 4 & -5 & -9 , B = 1 3 4 e a matriz coluna dos termos constantes :
Primeiro, precisamos calcular o determinante de para garantir que a inversa existe.

Passo 9

Cálculo do Determinante de det(A) = 3(5 times -9 - 6 times -5) - 0(2 times -9 - 6 times 4) + 6(2 times -5 - 5 times 4) :
det(A) = 3(-45 + 30) + 0 + 6(-10 - 20)
det(A) = 3(-15) + 6(-30) = -45 -180 = -225
Como , a matriz inversa existe.

Passo 10

Cálculo da Inversa de Adj(A) = (5 times -9 - 6 times -5) & -(2 times -9 - 6 times 4) & (2 times -5 - 5 times 4) -(0 times -9 - 6 times 4) & (3 times -9 - 6 times 4) & -(3 times -5 - 0 times 4) (0 times 6 - 5 times 5) & -(3 times 6 - 0 times 2) & (3 times 5 - 0 times 2) :
A inversa de uma matriz Adj(A) = -45 +30 & -(-18 -24) & -10 -20 -0 +24 & -27 -24 & 15 -0 0 -25 & -(18 -0) & 15 -0 é dada por Adj(A) = -15 & 42 & -30 24 & -51 & 15 -25 & -18 & 15 , onde A^-1 = 1-225 times -15 & 42 & -30 24 & -51 & 15 -25 & -18 & 15 = 115 & -42225 & 30225 -24225 & 51225 & -15225 25225 & 18225 & -15225 é a adjunta de A^-1 = -115 & 1475 & -215 -875 & 1775 & -115 19 & 225 & -115 . Vamos calcular a adjunta de :
Então,

Passo 11

Encontrando X = A^-1B = -115 & 1475 & -215 -875 & 1775 & -115 19 & 225 & -115 1 3 4 usando x1 = -115(1) + 1475(3) - 215(4) = -115 + 4275 - 815 = -115 + 1425 - 815 = 1 :
x2 = -875(1) + 1775(3) - 115(4) = -875 + 5175 - 415 = 4375 - 2075 = 2375 approx 0,307
Vamos multiplicar as matrizes:
Para x3 = 19(1) + 225(3) - 115(4) = 19 + 625 - 415 = -13 :
Para :
Para :

Passo 12

Método de Cramer:
Primeiro, vamos encontrar o determinante da matriz dos coeficientes , que já calculamos anteriormente: .
Para encontrar , e , vamos substituir as colunas correspondentes pelos termos constantes e calcular os determinantes.

Passo 13

Cálculo de A1 = 1 & 0 & 6 3 & 5 & 6 4 & -5 & -9 usando Cramer:
Substituímos a primeira coluna de det(A1) = 1(5 times -9 - 6 times -5) - 0(3 times -9 - 6 times 4) + 6(3 times -5 - 5 times 4) por det(A1) = 1(-45 +30) + 0 + 6(-15 -20) = -15 -210 = -225 :
x1 = det(A1)det(A) = -225-225 = 1
Então,

Passo 14

Cálculo de A2 = 3 & 1 & 6 2 & 3 & 6 4 & 4 & -9 usando Cramer:
Substituímos a segunda coluna de det(A2) = 3(3 times -9 - 6 times 4) - 1(2 times -9 - 6 times 4) + 6(2 times 4 - 3 times 4) por det(A2) = 3(-27 -24) -1(-18 -24) +6(8 -12) = 3(-51) +42 +6(-4) = -153 +42 -24 = -135 :
x2 = det(A2)det(A) = -135-225 = 35 = 0,6
Então,

Passo 15

Cálculo de A3 = 3 & 0 & 1 2 & 5 & 3 4 & -5 & 4 usando Cramer:
Substituímos a terceira coluna de det(A3) = 3(5 times 4 - 3 times -5) - 0(2 times 4 - 3 times4) +1(2 times -5 -5 times4) por det(A3) = 3(20 +15) +0 +1(-10 -20) = 3(35) -30 = 105 -30 =75 :
x3 = det(A3)det(A) = 75-225 = -13
Então,

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 1, x2 = 35, x3 = -13

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