Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de escalonamento, pelo método da inversa e pelo método de Cramer, se houver solução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares que a gente tem aqui. O sistema tem três equações com três incógnitas: , e . A gente vai usar três métodos diferentes para achar as soluções: Método de Escalonamento (também conhecido como eliminação de Gauss), Método da Inversa e Método de Cramer. Vamos precisar entender como manipular matrizes e resolver determinantes. Vamos lá!
Passo 2
Método de Escalonamento:
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
Vamos resolver a partir da última linha para encontrar -15x3 = 5 Rightarrow x3 = 5-15 = -13 :
Passo 6
Passo 4 do Escalonamento:
Agora, substituímos 5x2 + 2(-13) = 73 na segunda linha para encontrar 5x2 - 23 = 73 :
5x2 = 73 + 23 = 3
x2 = 35
Passo 7
Passo 5 do Escalonamento:
Por fim, substituímos 3x1 + 6(-13) = 1 e 3x1 - 2 = 1 na primeira linha para encontrar 3x1 = 3 :
x1 = 1
Passo 8
Método da Inversa:
Vamos formar a matriz dos coeficientes A = 3 & 0 & 6 2 & 5 & 6 4 & -5 & -9 , B = 1 3 4 e a matriz coluna dos termos constantes :
Primeiro, precisamos calcular o determinante de para garantir que a inversa existe.
Passo 9
Cálculo do Determinante de det(A) = 3(5 times -9 - 6 times -5) - 0(2 times -9 - 6 times 4) + 6(2 times -5 - 5 times 4) :
det(A) = 3(-45 + 30) + 0 + 6(-10 - 20)
det(A) = 3(-15) + 6(-30) = -45 -180 = -225
Como , a matriz inversa existe.
Passo 10
Cálculo da Inversa de Adj(A) = (5 times -9 - 6 times -5) & -(2 times -9 - 6 times 4) & (2 times -5 - 5 times 4) -(0 times -9 - 6 times 4) & (3 times -9 - 6 times 4) & -(3 times -5 - 0 times 4) (0 times 6 - 5 times 5) & -(3 times 6 - 0 times 2) & (3 times 5 - 0 times 2) :
A inversa de uma matriz Adj(A) = -45 +30 & -(-18 -24) & -10 -20 -0 +24 & -27 -24 & 15 -0 0 -25 & -(18 -0) & 15 -0 é dada por Adj(A) = -15 & 42 & -30 24 & -51 & 15 -25 & -18 & 15 , onde A^-1 = 1-225 times -15 & 42 & -30 24 & -51 & 15 -25 & -18 & 15 = 115 & -42225 & 30225 -24225 & 51225 & -15225 25225 & 18225 & -15225 é a adjunta de A^-1 = -115 & 1475 & -215 -875 & 1775 & -115 19 & 225 & -115 . Vamos calcular a adjunta de :
Substituímos a primeira coluna de det(A1) = 1(5 times -9 - 6 times -5) - 0(3 times -9 - 6 times 4) + 6(3 times -5 - 5 times 4) por det(A1) = 1(-45 +30) + 0 + 6(-15 -20) = -15 -210 = -225 :
Substituímos a segunda coluna de det(A2) = 3(3 times -9 - 6 times 4) - 1(2 times -9 - 6 times 4) + 6(2 times 4 - 3 times 4) por det(A2) = 3(-27 -24) -1(-18 -24) +6(8 -12) = 3(-51) +42 +6(-4) = -153 +42 -24 = -135 :