Determine os valores de
e
para que o plano
seja:
(a) Paralelo ao plano
.
(b) Represente o mesmo plano que
(a) Paralelo ao plano
(b) Represente o mesmo plano que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de
,
e
para que o plano
seja:
(a) Paralelo ao plano
.
(b) Seja exatamente o mesmo plano que
.
Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria espacial sobre planos. Vamos precisar entender como determinar se dois planos são paralelos e como fazer com que eles coincidam.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): encontrar
,
e
para que os planos sejam paralelos.
Teoria aplicada: Dois planos são paralelos se eles têm normais proporcionais. A normal de um plano da forma
é o vetor
.
Então, vamos identificar as normais dos dois planos:
- Normal do plano dado:
. - Normal do plano
: .
Para que os planos sejam paralelos, existe um escalar
tal que:
Isso nos dá as equações:
Vamos resolver para
usando a última equação:
Agora, substituímos
nas equações de
e
:
Agora, para determinar
, precisamos que os planos sejam paralelos, mas podem ter interseção ou não. Como não existe uma restrição específica para
na paralelidade,
pode ser qualquer valor real.
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b): fazer com que o plano
seja exatamente o mesmo que
.
Teoria aplicada: Para que dois planos sejam coincidentes (ou seja, sejam o mesmo plano), além de terem normais proporcionais, os termos constantes também devem estar na mesma proporção.
Já sabemos que as normais devem satisfazer:
Resolvendo novamente, temos
como antes.
Portanto:
Agora, para que os planos coincidam, os termos constantes também devem satisfazer:
Resposta
(a) Para que o plano seja paralelo,
,
e
pode ser qualquer valor real.
(b) Para que o plano seja igual ao
, os valores são
,
e
.