Determine os valores de k, m e n para que o plano m x+n y+2 z-k=0 seja:
(a) Paralelo ao plano 4 x+y-3 z=1.
(b) Represente o mesmo plano que 4 x+y-3 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de , e para que o plano seja:
(a) Paralelo ao plano .
(b) Seja exatamente o mesmo plano que .
Para isso, vamos usar alguns conceitos de geometria espacial sobre planos. Vamos precisar entender como determinar se dois planos são paralelos e como fazer com que eles coincidam.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): encontrar n1 = lambda n2 , m = 4lambda e n = 1lambda para que os planos sejam paralelos.
Teoria aplicada: Dois planos são paralelos se eles têm normais proporcionais. A normal de um plano da forma 2 = -3lambda é o vetor 2 = -3lambda implies lambda = -23 .
Então, vamos identificar as normais dos dois planos:
  • Normal do plano dado: m = 4 times (-23) = -83 .
  • Normal do plano n = 1 times (-23) = -23 : .
Para que os planos sejam paralelos, existe um escalar tal que:
Isso nos dá as equações:
Vamos resolver para usando a última equação:
Agora, substituímos nas equações de e :
Agora, para determinar , precisamos que os planos sejam paralelos, mas podem ter interseção ou não. Como não existe uma restrição específica para na paralelidade, pode ser qualquer valor real.

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): fazer com que o plano m = 4lambda seja exatamente o mesmo que n = 1lambda .
Teoria aplicada: Para que dois planos sejam coincidentes (ou seja, sejam o mesmo plano), além de terem normais proporcionais, os termos constantes também devem estar na mesma proporção.
Já sabemos que as normais devem satisfazer:
2 = -3lambda
m = -83, n = -23
-k = 1 times lambda implies -k = (-23) implies k = 23
Resolvendo novamente, temos como antes.
Portanto:
Agora, para que os planos coincidam, os termos constantes também devem satisfazer:

Resposta

(a) Para que o plano seja paralelo, , e pode ser qualquer valor real.
(b) Para que o plano seja igual ao , os valores são , e .

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