(35 pts) Considere o sistema linear A X=B definido pelo sistema abaixo:
cc z+2 u & =0 x+y+u & =1 x+y+2 z+5 u+v & =2 x+y+4 z+9 u+3 v & =4 x+y+3 z+7 u+2 v & =3 2 x+2 u+6 z+14 u+4 v & =6
a partir da forma escalonada feeduzida, caso exista, determine a solução gelal do sistema A X=B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares aqui, onde precisamos encontrar os valores das variáveis , , , e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar a forma escalonada reduzida da matriz do sistema, que facilita bastante na hora de encontrar a solução geral. O que vamos precisar é entender como manipular matrizes, aplicar operações elementares e, claro, conhecer bem o conceito de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de equações em uma matriz aumentada. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor as equações e aplicar as operações necessárias.
O sistema dado é:
l z + 2u = 0 x + y + u = 1 x + y + 2z + 5u + v = 2 x + y + 4z + 9u + 3v = 4 x + y + 3z + 7u + 2v = 3 2x + 2u + 6z + 14u + 4v = 6
Vamos reescrever a última equação corretamente, observando que há uma repetição de 2x + 2y + 6z + 14u + 4v = 6 :
0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & | & 2 1 & 1 & 4 & 9 & 3 & | & 4 1 & 1 & 3 & 7 & 2 & | & 3 2 & 2 & 6 & 14 & 4 & | & 6
Agora, a matriz aumentada fica:

Passo 3

Agora, vamos aplicar operações elementares de linha para transformar essa matriz na forma escalonada reduzida. As operações que podemos usar são:
  1. Trocar duas linhas.
  2. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  3. Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha de outra linha.
Vamos começar identificando um pivô, que é o primeiro elemento não nulo de uma linha, começando pela esquerda.
Observando a segunda linha, o primeiro elemento é 1 (na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & | & 2 1 & 1 & 4 & 9 & 3 & | & 4 1 & 1 & 3 & 7 & 2 & | & 3 2 & 2 & 6 & 14 & 4 & | & 6 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 ), que é perfeito para o nosso pivô. Já na primeira linha, o pivô seria na coluna de .
Vamos reordenar as linhas para facilitar:

Passo 4

Vamos zerar os elementos abaixo do pivô na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & | & 1 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 6 & 12 & 4 & | & 4 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 . Para isso, subtraímos a primeira linha das demais:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
Fazendo essas operações:
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
A matriz agora fica:

Passo 5

Vamos agora focar na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 6 & 12 & 4 & | & 4 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 . O próximo pivô será o primeiro elemento não nulo nessa coluna, que é 2 (na linha 2). Vamos usar essa linha para zerar os elementos abaixo e acima dela na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & -0.5 & | & -0.5 .
Primeiro, vamos dividir a Linha 2 por 2 para tornar o pivô igual a 1:
  • Linha 2:
Agora, a matriz fica:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô na coluna de :
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
  • Linha 6:
A matriz agora é:

Passo 6

Agora, vamos tratar da coluna de (quinta coluna). Observamos que há múltiplas linhas que envolvem e . Podemos simplificar essas linhas para encontrar relações entre e .
Vamos observar as seguintes linhas:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
  • Linha 5:
  • Linha 6:
Da Linha 4, já sabemos que . Substituindo esse valor nas Equações das Linhas 3, 5 e 6:

Passo 7

Agora que sabemos que 0x + 0y + 1z + 2u + 0.5v = 0.5 e z + 2(1) + 0.5(0) = 0.5 z + 2 = 0.5 z = 0.5 - 2 z = -1.5 , podemos voltar para as linhas anteriores para encontrar os valores de x + y + 0z + 1u + 0v = 1 , x + y + 1(1) = 1 x + y + 1 = 1 x + y = 0 e .
Vamos começar com a Linha 2:
Substituindo e :
Agora, vamos para a Linha 1:
Substituindo e :

Passo 8

Temos duas variáveis restantes: x = t y = -t z = -1.5 u = 1 v = 0 e . A equação nos diz que . Isso significa que podemos escolher um valor para e encontrar o correspondente , ou vice-versa. Isso indica que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor que atribuirmos a uma das variáveis.
Assim, podemos expressar as soluções em termos de uma variável livre, digamos , onde:

Resposta

A solução geral do sistema é:
x = t y = -t z = -dfrac32 u = 1 v = 0
onde é um número real qualquer.

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