Considere o sistema linear definido pelo sistema abaixo:
a partir da forma escalonada feeduzida, caso exista, determine a solução gelal do sistema A X=B.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares aqui, onde precisamos encontrar os valores das variáveis , , , e que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar a forma escalonada reduzida da matriz do sistema, que facilita bastante na hora de encontrar a solução geral. O que vamos precisar é entender como manipular matrizes, aplicar operações elementares e, claro, conhecer bem o conceito de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações em uma matriz aumentada. Isso vai nos ajudar a visualizar melhor as equações e aplicar as operações necessárias.
O sistema dado é:
l z + 2u = 0 x + y + u = 1 x + y + 2z + 5u + v = 2 x + y + 4z + 9u + 3v = 4 x + y + 3z + 7u + 2v = 3 2x + 2u + 6z + 14u + 4v = 6
Vamos reescrever a última equação corretamente, observando que há uma repetição de 2x + 2y + 6z + 14u + 4v = 6 :
Agora, vamos aplicar operações elementares de linha para transformar essa matriz na forma escalonada reduzida. As operações que podemos usar são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha de outra linha.
Vamos começar identificando um pivô, que é o primeiro elemento não nulo de uma linha, começando pela esquerda.
Observando a segunda linha, o primeiro elemento é 1 (na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 1 & 1 & 2 & 5 & 1 & | & 2 1 & 1 & 4 & 9 & 3 & | & 4 1 & 1 & 3 & 7 & 2 & | & 3 2 & 2 & 6 & 14 & 4 & | & 6 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 ), que é perfeito para o nosso pivô. Já na primeira linha, o pivô seria na coluna de .
Vamos reordenar as linhas para facilitar:
Passo 4
Vamos zerar os elementos abaixo do pivô na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & | & 1 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 6 & 12 & 4 & | & 4 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 . Para isso, subtraímos a primeira linha das demais:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
Linha 5:
Fazendo essas operações:
Linha 2:
Linha 3:
Linha 4:
Linha 5:
A matriz agora fica:
Passo 5
Vamos agora focar na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 4 & 8 & 3 & | & 3 0 & 0 & 3 & 6 & 2 & | & 2 0 & 0 & 6 & 12 & 4 & | & 4 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & | & 0 . O próximo pivô será o primeiro elemento não nulo nessa coluna, que é 2 (na linha 2). Vamos usar essa linha para zerar os elementos abaixo e acima dela na coluna de 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & 2 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5 & | & 0.5 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & -0.5 & | & -0.5 .
Primeiro, vamos dividir a Linha 2 por 2 para tornar o pivô igual a 1:
Linha 2:
Agora, a matriz fica:
Agora, vamos zerar os elementos abaixo do pivô na coluna de :
Linha 3:
Linha 4:
Linha 5:
Linha 6:
A matriz agora é:
Passo 6
Agora, vamos tratar da coluna de (quinta coluna). Observamos que há múltiplas linhas que envolvem e . Podemos simplificar essas linhas para encontrar relações entre e .
Vamos observar as seguintes linhas:
Linha 3: →
Linha 4: → →
Linha 5: →
Linha 6: → →
Da Linha 4, já sabemos que . Substituindo esse valor nas Equações das Linhas 3, 5 e 6:
→
Passo 7
Agora que sabemos que 0x + 0y + 1z + 2u + 0.5v = 0.5 e z + 2(1) + 0.5(0) = 0.5 z + 2 = 0.5 z = 0.5 - 2 z = -1.5 , podemos voltar para as linhas anteriores para encontrar os valores de x + y + 0z + 1u + 0v = 1 , x + y + 1(1) = 1 x + y + 1 = 1 x + y = 0 e .
Vamos começar com a Linha 2:
Substituindo e :
Agora, vamos para a Linha 1:
Substituindo e :
Passo 8
Temos duas variáveis restantes: x = t y = -t z = -1.5 u = 1 v = 0 e . A equação nos diz que . Isso significa que podemos escolher um valor para e encontrar o correspondente , ou vice-versa. Isso indica que o sistema tem infinitas soluções, dependendo do valor que atribuirmos a uma das variáveis.
Assim, podemos expressar as soluções em termos de uma variável livre, digamos , onde: