Sejam g: I -> R uma função derivável no intervalo aberto I ⊆ R e P = (x1, y1) um ponto no gráfico de g. Se r é a reta tangente ao gráfico de g em P, determine a abscissa x2 de sua interseção com o eixo-x:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função derivável num intervalo e um ponto no gráfico dessa função. A reta tangente ao gráfico de em é o que queremos analisar. Nosso objetivo é encontrar a abscissa onde essa reta tangente cruza o eixo-x. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto . A inclinação de é dada pela derivada da função avaliada em , ou seja:
Aqui, representa a taxa de variação da função naquele ponto específico.

Passo 3

Com a inclinação e o ponto , podemos escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo por , fica:

Passo 4

Queremos encontrar a abscissa onde a reta tangente cruza o eixo-x. No eixo-x, a coordenada é zero. Então, vamos substituir na equação da reta tangente e resolver para :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por :
Finalmente, isolando :

Resposta

A abscissa da interseção da reta tangente com o eixo-x é:

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