Um sólido
é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional ao quadrado da distância da origem à
. Encontre a massa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sólido
que é limitado por um cone
e pelo plano
. A densidade nesse ponto
é proporcional ao quadrado da distância da origem até
. Pra achar a massa, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, porque facilita bastante com esse tipo de sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade. Ela é proporcional ao quadrado da distância da origem, ou seja:
Como a proporção é constante, podemos simplificar considerando
, então:
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. A distância da origem fica:
Então, a densidade em coordenadas cilíndricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O sólido está entre o cone
e o plano
. Para
, vai de 0 até
, que no topo é 2. O
varia de 0 a
. Então, os limites são:
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla para a massa
:
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral fica:
Resposta
A massa do sólido é
unidades de massa.