Um sólido S é delimitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e pelo plano z = 2. A densidade delta(x, y, z), no ponto (x, y, z), é diretamente proporcional ao quadrado da distância da origem à (x, y, z). Encontre a massa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sólido que é limitado por um cone e pelo plano . A densidade nesse ponto é proporcional ao quadrado da distância da origem até . Pra achar a massa, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais triplas em coordenadas cilíndricas, porque facilita bastante com esse tipo de sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade. Ela é proporcional ao quadrado da distância da origem, ou seja:
Como a proporção é constante, podemos simplificar considerando , então:

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , , e . A distância da origem fica:
Então, a densidade em coordenadas cilíndricas é:
Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O sólido está entre o cone e o plano . Para , vai de 0 até , que no topo é 2. O varia de 0 a . Então, os limites são:

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla para a massa :
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, a integral fica:

Resposta

A massa do sólido é unidades de massa.

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