Determine o ponto do plano
que está mais próximo de
.
Passo 1
Beleza, então a gente tem um exercício de geometria analítica. A missão é encontrar o ponto no plano definido pela equação
que está mais pertinho do ponto
. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular a distância de um ponto até um plano e usar um pouco de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação do plano:
. Nessa equação, os coeficientes de
,
e
(ou seja, 4, 3 e 1) formam o vetor normal ao plano, que é
. Esse vetor é crucial porque nos ajuda a determinar a direção perpendicular ao plano.
Passo 3
Agora, queremos achar o ponto no plano que está mais próximo do ponto dado
. Esse ponto mais próximo é, na verdade, a projeção do ponto dado sobre o plano. Para encontrar essa projeção, usamos a fórmula:
Onde:
-
é o ponto dado. -
é o vetor normal ao plano. -
será o ponto no plano mais próximo de .
Passo 4
Vamos calcular o numerador da fração, que é o produto escalar entre
e
:
Note que o resultado é exatamente o lado direito da equação do plano (
).
Passo 5
Agora, calculamos o denominador, que é o quadrado da norma do vetor normal:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula da projeção:
Resposta
O ponto no plano
que está mais próximo de
é
.