Determine o ponto do plano 4x + 3y + z = 2 que está mais próximo de (1, -1, 1).

Passo 1

Beleza, então a gente tem um exercício de geometria analítica. A missão é encontrar o ponto no plano definido pela equação que está mais pertinho do ponto . Pra resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular a distância de um ponto até um plano e usar um pouco de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação do plano: . Nessa equação, os coeficientes de , e (ou seja, 4, 3 e 1) formam o vetor normal ao plano, que é . Esse vetor é crucial porque nos ajuda a determinar a direção perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, queremos achar o ponto no plano que está mais próximo do ponto dado . Esse ponto mais próximo é, na verdade, a projeção do ponto dado sobre o plano. Para encontrar essa projeção, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o ponto dado.
  • é o vetor normal ao plano.
  • será o ponto no plano mais próximo de .

Passo 4

Vamos calcular o numerador da fração, que é o produto escalar entre e :
Note que o resultado é exatamente o lado direito da equação do plano ( ).

Passo 5

Agora, calculamos o denominador, que é o quadrado da norma do vetor normal:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula da projeção:

Resposta

O ponto no plano que está mais próximo de é .

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