Resolver as seguintes equações homogêneas .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é homogênea: com . A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais homogêneas, e vamos precisar fazer uma substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos de e têm o mesmo grau. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são de primeiro grau, então podemos usar a substituição . Isso ajuda a transformar a equação em termos de uma única variável.

Passo 3

Fazendo a substituição , precisamos também achar . Derivando em relação a , temos:
Substituímos isso na equação original:

Passo 4

Agora, simplificamos a equação:
Calculando o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Essa nova equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis e . Vamos reorganizar:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
O lado esquerdo pode ser dividido em duas integrais:
E o lado direito:

Passo 7

Colocando tudo junto:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Determine o ponto da reta que está mais próximo de .
Dar as soluções constantes das equações:
Seja uma função. Mostre que , para todo se, somente se, é injetiva.