Resolver as seguintes equações homogêneas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é homogênea:
com
. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais homogêneas, e vamos precisar fazer uma substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se os termos de
e
têm o mesmo grau. Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são de primeiro grau, então podemos usar a substituição
. Isso ajuda a transformar a equação em termos de uma única variável.
Passo 3
Fazendo a substituição
, precisamos também achar
. Derivando
em relação a
, temos:
Substituímos isso na equação original:
Passo 4
Agora, simplificamos a equação:
Calculando o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Essa nova equação é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
. Vamos reorganizar:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
O lado esquerdo pode ser dividido em duas integrais:
E o lado direito:
Passo 7
Colocando tudo junto:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Determine o ponto da reta
que está mais próximo de
.
Dar as soluções constantes das equações:
Seja
uma função. Mostre que
, para todo
se, somente se,
é injetiva.