Determine o ponto da reta
que está mais próximo de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto na reta
que está mais próximo do ponto
. Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a distância entre um ponto e uma reta. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações de reta e perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a reta dada é
. O que precisamos fazer é encontrar uma reta perpendicular a essa que passe pelo ponto
. Por que perpendicular? Porque o ponto mais próximo estará exatamente na interseção das duas retas, formando um ângulo de 90 graus.
Passo 3
Vamos identificar o coeficiente angular da reta original. Na equação
, o coeficiente angular é
. A propriedade das retas perpendiculares nos diz que o coeficiente angular da reta perpendicular será o negativo do inverso do coeficiente original. Então:
Passo 4
Agora, temos o coeficiente angular da reta perpendicular,
, e sabemos que essa reta passa pelo ponto
. Vamos usar a f��rmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos simplificar a equação da reta perpendicular:
Passo 6
Agora temos as duas equações das retas:
- Reta original:
- Reta perpendicular:
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as duas equações:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
:
Passo 8
Agora que temos
, substituímos esse valor em uma das equações das retas para encontrar
. Vamos usar a reta original:
Resposta
O ponto na reta
que está mais próximo de
é
.
Exercícios relacionados
Dar as soluções constantes das equações:
Use multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeita a restrição dada. Além disso, determine os pontos nos quais esses valores extremos ocorrem.
Resolver as seguintes equações homogêneas
.