Determine o ponto da reta que está mais próximo de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto na reta que está mais próximo do ponto . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica, especificamente com a distância entre um ponto e uma reta. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações de reta e perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a reta dada é . O que precisamos fazer é encontrar uma reta perpendicular a essa que passe pelo ponto . Por que perpendicular? Porque o ponto mais próximo estará exatamente na interseção das duas retas, formando um ângulo de 90 graus.

Passo 3

Vamos identificar o coeficiente angular da reta original. Na equação , o coeficiente angular é . A propriedade das retas perpendiculares nos diz que o coeficiente angular da reta perpendicular será o negativo do inverso do coeficiente original. Então:

Passo 4

Agora, temos o coeficiente angular da reta perpendicular, , e sabemos que essa reta passa pelo ponto . Vamos usar a f��rmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos simplificar a equação da reta perpendicular:

Passo 6

Agora temos as duas equações das retas:
  1. Reta original:
  2. Reta perpendicular:
Para encontrar o ponto de interseção, igualamos as duas equações:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de :

Passo 8

Agora que temos , substituímos esse valor em uma das equações das retas para encontrar . Vamos usar a reta original:

Resposta

O ponto na reta que está mais próximo de é .

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