Determine o ponto da reta que possui: Ordenada 2 ;
19. Obter as equações reduzidas na variável , da reta
a) Que passa por e tem direção de ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações reduzidas na variável de uma reta que passa pelo ponto e que tem um vetor de direção . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre como representar retas no espaço usando vetores e pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações reduzidas. Uma reta no espaço pode ser descrita por equações paramétricas ou reduzidas. As equações reduzidas expressam as outras coordenadas ( e ) em função de uma delas, nesse caso, .
Passo 3
Para começar, precisamos das equações paramétricas da reta. Sabemos que uma reta pode ser definida por um ponto inicial e um vetor de direção . As equações paramétricas são:
Onde é um parâmetro.
Passo 4
Aplicando os valores que temos:
x = 4 + 2t y = 0 + 4t z = -3 + 5t
Simplificando:
x = 4 + 2t y = 4t z = -3 + 5t
Passo 5
Agora, nosso objetivo é eliminar o parâmetro x = 4 + 2t implies t = x - 42 para obter as equações reduzidas em função de . Vamos resolver a primeira equação para :
Passo 6
Substituímos esse valor de y = 4t = 4 ( x - 42 ) = 2(x - 4) = 2x - 8 nas equações de z = -3 + 5t = -3 + 5 ( x - 42 ) = -3 + 5(x - 4)2 = 5x - 202 - 3 = 5x - 262 e :
Passo 7
Então, as equações reduzidas na variável y = 2x - 8 são:
z = 5x - 262
Resposta
As equações reduzidas na variável y = 2x - 8 da reta são: