Seja o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Determine se é um espaço vetorial se a soma ((a)
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos o conjunto que é formado por todos os pares ordenados de números reais. A questão quer saber se é um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas da seguinte forma:
Soma:
Multiplicação por escalar:
Para determinar se é um espaço vetorial, vamos precisar revisar os axiomas de espaço vetorial e verificar se essas operações satisfazem todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são os axiomas de um espaço vetorial. Existem várias propriedades que precisam ser verdadeiras para que um conjunto com determinadas operações seja considerado um espaço vetorial. Os principais axiomas são:
Comutatividade da soma:
Associatividade da soma:
Elemento neutro da soma: Existe um vetor tal que
Elemento inverso da soma: Para todo vetor , existe tal que
Compatibilidade da multiplicação por escalar:
Identidade da multiplicação por escalar:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores:
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de escalares:
Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas pelas operações definidas na questão.
Passo 3
1. Comutatividade da soma:
Vamos verificar se .
Seja e .
Para que , precisaríamos que:
O que implica que e . A segunda igualdade sempre é verdadeira, mas a primeira só é verdadeira se . Isso não é garantido para todos os vetores em . Portanto, a comutatividade da soma não é satisfeita.
Passo 4
Como a comutatividade da soma já não foi satisfeita, não precisamos verificar os outros axiomas para concluir que não é um espaço vetorial com as operações definidas. Um único axioma não cumprido já impede que o conjunto seja considerado um espaço vetorial.
Resposta
Não, não é um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar definidas.