Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2) de números reais. Determine se V é um espaço vetorial se a soma ((e) (x1, x2)+(y1, y2)=(x1 y1, x2 y2), a(x1, x2)= (a x1, a x2)

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o conjunto de todos os pares ordenados com números reais é um espaço vetorial, usando operações específicas de soma e multiplicação por escalar. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de espaço vetorial e verificar se as operações dadas atendem às propriedades necessárias para que seja considerado um.

Passo 2

Primeiro, o que é um espaço vetorial? É um conjunto de vetores que, junto com duas operações (soma de vetores e multiplicação por escalar), satisfaz uma série de propriedades, como associatividade, existência de elemento neutro, existência de inversos, distributividade, entre outras. Essas propriedades garantem que podemos fazer combinações lineares dentro desse conjunto de forma consistente.

Passo 3

Vamos olhar para as operações definidas no enunciado:
  1. Soma de vetores:
  2. Multiplicação por escalar:
A soma definida aqui não é a soma usual de vetores. Normalmente, somamos componente a componente: . Mas aqui, estamos multiplicando as componentes: .

Passo 4

Vamos verificar algumas propriedades fundamentais dos espaços vetoriais com essas operações:
  1. Comutatividade da soma: . Isso é verdade porque a multiplicação de números reais é comutativa.
  2. Existência do elemento neutro: Procuramos um vetor tal que . Para isso, precisamos que e , pois e . Então, o elemento neutro seria .
  3. Existência de inversos aditivos: Queremos, para cada , um vetor tal que . Isso implica que e . No entanto, isso só é possível se e forem diferentes de zero, o que nem sempre é o caso.

Passo 5

Além disso, precisamos verificar a distributividade em relação à soma de vetores e escalares, associatividade da soma e a compatibilidade da multiplicação pelos escalares. Mas já notamos um problema: o elemento neutro não funciona para todos os vetores, e nem todos os vetores têm inversos aditivos dentro de . Isso já indica que não satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial com as operações definidas.

Resposta

Não, não é um espaço vetorial com as operações de soma e multiplicação por escalar .

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