Determine o ponto simétrico de (alpha, beta) com relação às retas: x-y=1.

Passo 1

Beleza! Vamos descobrir qual é o ponto simétrico de (alpha, beta) em relação à reta x - y = 1. Isso faz parte da geometria analítica, especificamente sobre reflexões de pontos em relação a retas. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas matemáticas que ajudam a encontrar essa imagem refletida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para encontrar o ponto simétrico P'(x', y') de um ponto P(x, y) em relação a uma reta da forma Ax + By + C = 0. As fórmulas são:
x' = x - 2A(Ax + By + C)A^2 + B^2
y' = y - 2B(Ax + By + C)A^2 + B^2
Essas fórmulas funcionam porque calculam a distância do ponto à reta e ajustam as coordenadas para refletir esse ponto do outro lado da reta.

Passo 3

Vamos identificar os valores de A, B e C na nossa reta x - y = 1. Precisamos colocar a equação na forma geral Ax + By + C = 0:
x - y - 1 = 0
Então, temos:
  • A = 1
  • B = -1
  • C = -1

Passo 4

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula juntamente com as coordenadas do ponto original (alpha, beta):
x' = alpha - 2 cdot 1 (1 cdot alpha + (-1) cdot beta + (-1))1^2 + (-1)^2 = alpha - 2(alpha - beta - 1)2
y' = beta - 2 cdot (-1) (1 cdot alpha + (-1) cdot beta + (-1))1^2 + (-1)^2 = beta - -2(alpha - beta - 1)2

Passo 5

Vamos simplificar essas equações:
Para x':
x' = alpha - (alpha - beta - 1) = alpha - alpha + beta + 1 = beta + 1
Para y':
y' = beta + (alpha - beta - 1) = beta + alpha - beta - 1 = alpha - 1

Resposta

O ponto simétrico de (alpha, beta) em relação à reta x - y = 1 é (beta + 1, alpha - 1).

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