Determinar as equações da(s) reta(s) que forma(m) ângulo de medida pi4 com o eixo x e estão à distância raiz2 do ponto P=(3,4).

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações das retas que:
  1. Formam um ângulo de medida com o eixo .
  2. Estão a uma distância de do ponto .
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre inclinação das retas (coeficiente angular) e a fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que a reta forma um ângulo de m = tan(theta) com o eixo m = tan(pi4) = 1 . O ângulo que uma reta forma com o eixo está relacionado ao seu coeficiente angular , que é dado por:
Onde é o ângulo com o eixo . Aqui, , então:
Isso significa que o coeficiente angular das retas que estamos procurando é 1.

Passo 3

Sabendo que o coeficiente angular y = m x + b , podemos escrever a forma geral da equação da reta:
y = x + b
Substituindo :
Aqui, é o termo constante que ainda precisamos encontrar.

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta para encontrar o valor de d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 . A fórmula da distância A = 1, B = -1, C = b de um ponto raiz2 = |1 cdot 3 + (-1) cdot 4 + b|raiz1^2 + (-1)^2 = |3 - 4 + b|raiz2 = |b - 1|raiz2 à reta é:
Nossa reta está na forma , que podemos reescrever como . Assim, os coeficientes são:
O ponto dado é e a distância . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Agora, vamos resolver para |b - 1|raiz2 = raiz2 :
|b - 1| = 2
Multiplicando ambos os lados por :
Isso nos dá duas possibilidades:

Resposta

As equações das retas são:
y = x + 3 e y = x - 1

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